Desigualdades De Medias

Páginas: 3 (579 palabras) Publicado: 24 de noviembre de 2012
MAESTRÍA : EDUCACIÓN

MENCIÓN : EDUCACIÓN MATEMÁTICA

CURSO : CÁLCULO

TRABAJO : - DESIGUALDADES DE MEDIAS


ALUMNO : ELIZABETH AQUINO BARZOLA












DESIGUALDADDE LAS MEDIAS


En Mesopotamia ya conocían las tres medias, aritmética, geométrica y armónica y es donde el famoso matemático griego Pitágoras aprendió. Después Pappus en su libro degeometría incluye la teoría de las medias y da una construcción geométrica muy elegante incluyendo las tres medias, dicha construcción se presenta en la figura 1. donde:


OD: Es la media aritmética de lossegmentos AB y BC
DB: Es la media geométrica de los segmentos AB y BC
DF: Es la media armónica de los segmentos AB y BC













Figura 1: Representación gráfica de las mediasPodemos observar geométricamente que

[pic]

Vemos que: [pic]
[pic]
[pic]

Es decir OD es la media aritmética de AB y BC.


Además: [pic]
[pic]


Luego enel triángulo rectángulo OBD:

[pic]
[pic]
[pic]

[pic]
[pic]

[pic]

Es decir DB es la media geométrica de AB y BC.


Utilizando la semejanza de triángulos tenemos:(ODB ( (BFD
[pic]
[pic]
[pic] = [pic]
[pic]

Dividiendo el segundo miembro por ab
[pic] = [pic] = [pic]
[pic]

Es decir DF es la media armónicade AB y BC

Entonces geométricamente podemos afirmar que:

[pic]


[pic]
Demostración algebraica:

Sean a, b ( R+, entonces tenemos la siguientedesigualdad

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]


La media aritmética de a y b es ( a la media geométrica de a yb

Multiplicando a cada miembro por [pic]

[pic]
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[pic]
[pic]
[pic]


La media geométrica de a y b es ( a la media armónica de a y b

Por...
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