Desigualdades OtrasFuentes1

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS

GUÍA N° 2 CÁLCULO I
Profesor: Carlos Ruz Leiva

Desigualdades.
Ej. Resuelva la desigualdad 3x < 9 x + 4 .

Solución:
Sumar − 9 x , a ambos lados de la desigualdad.

− 9 x + 3x < −9 x + 9 x + 4 .
Simplificar la desigualdad anterior, da el resultado
Multiplicar por −

− 6x < 4 .

1
, la expresiónanterior, (note el cambio del operador <).
6

1
1
− ( −6 x ) > − ( 4 ) .
6
6

Al simplificar se obtiene

x>−

2
3

2⎫
⎧
La solución de la desigualdad se puede expresar como S = ⎨ x ∈ R / x > − ⎬ .
3⎭
⎩

También, puede graficarse esta solución, como se muestra en la figura siguiente:

Usando Maple:

> solve( 3*x<9*x+4, x );
-2
RealRange⎛⎜⎜ Open⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟, ∞ ⎞⎟⎟
⎝
⎝3⎠ ⎠
⎤ 2 ⎡
La respuesta dada por Maplealude al intervalo ⎥ − , ∞ ⎢ .
⎦ 3 ⎣

Otra forma de resolver, usando Maple, es:
> 3*x<9*x+4;solve(%);

3x<9x+4
-2
RealRange⎛⎜⎜ Open⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟, ∞ ⎞⎟⎟
⎝
⎝3⎠ ⎠

Resuelva las siguientes desigualdades. Exprese la solución en forma de intervalo y
dibuje el conjunto de solución en la recta real.
1. 3x ≤ 12 .

Sol: ] - ∞ , 4 ]

2. 20 < −4 x .

Sol: ] - ∞ , - 5 [

3. 2 x − 5 > 3 .

Sol: ] 4 , + ∞ [

4. 7 − x ≥ 5.

Sol: ] - ∞ , 2 ]

5. 2 x + 1 < 0 .

1
Sol: ] - ∞ , - [
2

6. 3x + 11 ≤ 6 x + 8 .

Sol: [ 1 , + ∞ [

7. 1 − x ≤ 2 .

Sol: [ - 1 , + ∞ [

8. 4 − 3 x ≤ −(1 + 8 x ) .

Sol: ] - ∞ , - 1 ]

Ej. Resuelva la desigualdad ( x − 2)( x − 5) > 0 .
Solución:
La desigualdad se cumple si

(i) x − 2 > 0 y x − 5 > 0 .

Es decir si x > 2 y x > 5 , tenemos que x > 5 .

En resumen, esta primera solución, se puedeexpresar como S i = {x ∈ R / x > 5 }.
Como solución gráfica, se tiene: (La intersección de las dos desigualdades anteriores).

La segunda posibilidad, es

(ii) x − 2 < 0 y x − 5 < 0 .

Es decir, si x < 2 y x < 5 .

Esta segunda parte de la solución general, es S ii = {x ∈ R / x < 2 }.
Gráficamente:

La solución general es S = S i ∪ S ii = {x ∈ R / x < 2 , x > 5} o S = ] - ∞ , 2 [ ∪ ] 5 , + ∞ [ .La solución gráfica es

Usando Maple:
> solve( (x-2)*(x-5)>0, x );

RealRange( −∞, Open( 2 ) ), RealRange( Open( 5 ), ∞ )
Otra forma:
> (x-2)*(x-5)>0;solve(%);

0 < (x − 2) (x − 5)
RealRange( −∞, Open( 2 ) ), RealRange( Open( 5 ), ∞ )
Resuelva las siguientes desigualdades. Exprese la solución en forma de intervalo y
dibuje el conjunto de solución en la recta real.
1. x 2 − 3 x − 18 ≤ 0 .

Sol: [- 3 , 6 ]

2. 2 x 2 + x ≥ 1 .

Sol : ] - ∞ , - 1 ] ∪ [

3. x 2 > 3( x + 6) .

Sol: ] - ∞ , - 3 [ ∪ ] 6 , + ∞ [

4. x 2 < 4 .

Sol: ] - 2 , 2 [

5. x( x 2 − 4) ≥ 0 .

Sol: [ - 2 , 0 ] ∪ [ 2 , + ∞ [

Ej. Resuelva la desigualdad

1
, + ∞[
2

x−3
≥0
x +1

Solución:
La desigualdad se cumple en los siguientes casos:
(i) x − 3 ≥ 0 y x + 1 > 0 . Es decir si x ≥ 3 y x > −1 .
La intersección de estos dosconjuntos resulta ser S i = [ 3 , ∞ [ .
(ii) x − 3 ≤ 0 y x + 1 < 0 . Es decir si x ≤ 3 y x < −1 .
La intersección de estos dos conjuntos resulta ser S ii = ] - ∞ , - 1 [ .
La solución general de la desigualdad es S = S i ∪ S ii = ] − ∞ , - 1[ ∪ [3, ∞ [ .
Usando Maple:
> solve( (x-3)/(x+1)>=0, x );

RealRange( −∞, Open( -1 ) ), RealRange( 3, ∞ )

Otra forma:

> (x-3)/(x+1)>=0;solve(%);
0≤

x−3
x+1RealRange( −∞, Open( -1 ) ), RealRange( 3, ∞ )
Solución gráfica:

Ej. Resuelva la desigualdad

4x
> 2.
2x + 3

Solución:
Escriba la ecuación anterior como
Después como

4x
−2>0.
2x + 3

4 x − 2(2 x + 3)
4x − 4x − 6
>0 o
> 0 y luego
2x + 3
2x + 3

Esta desigualdad se cumple sólo si 2 x + 3 < 0 . Es decir si

x<−

−6
> 0.
2x + 3
3
.
2

3⎫
3
⎧
Por lo tanto, la solución es S = ⎨ x ∈ R / x < − ⎬ , o S= ] - ∞ , - [ .
2⎭
2
⎩

Solución gráfica:

Resuelva las siguientes desigualdades. Exprese la solución en forma de intervalo y
dibuje el conjunto de solución en la recta real.

1.

2x + 1
≤ 3.
x−5

Sol: ] - ∞ , 5 [∪ [ 16 , + ∞ [

2.

4
< x.
x

Sol: ] - 2 , 0 [∪ ] 2 , + ∞ [

3.

x2 − 4
≥ 0.
x2 + 4

Sol: ] - ∞ , - 2] ∪ [ 2 , + ∞ [

4.

1
3
≤ .
1− x x

3
Sol: ] 0 , ] ∪ ] 1 , + ∞ [
4

5.

x−3
≥ 1....