Desigualdades e inecuaciones de primer grado

1. Desigualdades e inecuaciones de primer grado

Hemos visto ecuaciones de 1º y 2º grados, en los cuales el número de soluciones era siempre finito, o sea, una solución, dos soluciones. En este tema veremos un concepto nuevo, el de inecuación, el cual consiste en hallar los valores que cumplan una cierta expresión (desigualdad) matemática. En este caso, por regla general el número desoluciones será infinito.
Ecuación: [pic] como podemos comprobar la solución es única.
Inecuación: [pic] en este caso vemos que hay infinitas soluciones, todos los valores de x menores o iguales que 7/2.
Por otra parte, necesitamos “expresar matemáticamente” todos los valores de x menores o iguales que 7/2. Vamos a recordarlo. Había dos formas mediante intervalos y gráficamente:

[pic]quesignifica todos los números comprendidos entre -( y el número 7/2, incluyendo el número 7/2. Gráficamente sería una flecha que parte del número 7/2 y señala hacia la izquierda (todos los números que hay a su izquierda).
Las demás situaciones posibles las podemos expresar:
[pic]que significa todos los números comprendidos entre el número 7/2 y el +(, incluyendo el número 7/2. Gráficamente sería unaflecha que parte del número 7/2 y señala hacia la derecha (todos los números que haya a su derecha incluyendo el 7/2).

[pic]que significa todos los números comprendidos entre -( y el número 7/2, sin incluir al número 7/2. Gráficamente sería una flecha que parte del número 7/2 y señala hacia la izquierda (todos los números que hay a su izquierda sin incluirlo).

[pic]que significa todos losnúmeros comprendidos entre 7/2 y +(, sin incluir al número 7/2. Gráficamente sería una flecha que parte del número 7/2 y señala hacia la derecha (todos los números que hay a su derecha sin incluirlo).

Problema ejemplo.- En un vehículo se cargan tres contenedores de igual peso y un bidón de 230 kg. Si la carga máxima del vehículo es de 1.400 kg. ¿entre qué valores puede oscilar el peso de loscontenedores?
Planteamiento: [pic] Solución: [pic]

Definición.- Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen números y letras, llamadas incógnitas. ¿Para qué valores de x es cierto que ... -6.
Ejemplos de resolución de una inecuación, trata de explicar cada paso:
[pic] [pic] [pic]
ahora un poco más difíciles:
[pic] [pic] [pic]
observa si “un número negativo multiplica a la x, pasadividiendo al otro miembro, pero CAMBIA el signo de la desigualdad.
Ejercicios.- Resolver las siguientes inecuaciones :

[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]

2. Sistemas de dos inecuaciones y una incógnita

Nos encontraremos dos inecuaciones (normalmente) y se trata de encontrar los valores de la incógnita (x) quehacen que se cumplan las dos inecuaciones a la vez.
Ejemplo :
[pic][pic] Se resuelven por separado y se representan sobre la misma recta real: Las soluciones de las inecuaciones son x ( 2 y x > -1 respectivamente. La solución del sistema será la de aquellos valores de la incógnita que son a la vez menores o iguales que el 2 y mayores que el –1. O sea, números mayores que el –1 (por ejemplo–0,9999, -0,5, etc sin incluir al –1) y a la vez menores o iguales que el 2 (el 2, el 1,5, etc). El intervalo sería [pic]. Y gráficamente:

La solución del sistema sería donde coinciden las soluciones de las dos inecuaciones, es decir, en al intervalo (-1, 2].

Podemos encontrarnos otros tres tipos de soluciones:

Ejemplo.-

[pic] La solución es: [pic]

Ejemplo.-

[pic] No tiene solución yaque: [pic]

Ejemplo.-

[pic] La solución es: [pic]

Ejercicio :
Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones.

[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]

3.- Inecuaciones de segundo grado y de orden superior.

Consideremos la inecuación de segundo grado: x2 – 5x + 4 > 0. Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea positivo (>0). El...