Desigualdades e inecuaciones

DESIGUALDADES E INECUACIONES

En lo cursos anteriores nos hemos ocupado de las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas, las propiedades de las proporciones, la congruencia entre triángulos, las identidades trigonométricas, etc. El estudio de las DESIGUALDADES es útil, cuando el valor aproximado de una cantidad, interesa más que su valor exacto.RECORDEMOS:
Los números reales se definen como la unión del conjunto de los números racionales (Q) con el conjunto de los números irracionales (I): R = Q I

Representación geométrica de los números reales:
Los números reales se pueden representar en una recta numérica, que recibe el nombre de recta real. Existe una correspondencia Biunívoca, que asigna a cada punto de la recta un número real.DESIGUALDADES

La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello utilizamos los símbolos:

>: Mayor que. : Mayor o igual que.
4} 6. (– , 3) 7. (– 3, 5 ) 8. [1, 7)

Operaciones con intervalos

Siendo los intervalos un subconjunto del conjunto del conjunto de los números reales (R), es posible realizar entre ellos operaciones como:Unión e Intersección.

Ejemplos: (los hace leo.) Sean los intervalos A = [–5, 5], B = (0, 9], C = [3, 5], D = [3, 8], E = (1, 6), F = (7, 9), G = (– , 8] y H = (2, ); hallar en las diferentes notaciones:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)

Ejercicio

1. Describa los siguientes intervalos en notación de conjunto y en forma gráfica:
a) (– , 6) b) [5, ) c) [–4,8) d) [1, 6] e) (–7, –1]
2. Sean los intervalos A = [–3, 7], B = (1, 8], C = [2, 6], D = [-3, 6], E = (0, 5), F = (6, 10), G = (– , 7] y H = (1, ); hallar en las diferentes notaciones:
a) b) c) d)
e) f) g) h)

INECUACIONES

Una inecuación no es más que una desigualdad en la cual intervienen variables. Los siguientes son ejemplos de desigualdades:; ;
A continuación se relacionan algunas reglas necesarias para poder resolver una inecuación.

Propiedades de las desigualdades

Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:

1. Al sumar o restar un mismo número a ambos miembros de una igualdad, esta no cambia de sentido.
Si a > b, entonces (a c) > (b c) o
Si a < b, entonces (a c) < (b c).

2. Si se multiplicanambos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, se conserva el sentido de la desigualdad. Si el número por el cual se multiplica es negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

Si a > b y c > 0, entonces ac > bc y
Si c < 0, entonces ac < bc.

3. Si se dividen ambos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, se conserva el sentido de la desigualdad. Si elnúmero por el cual se divide es negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

Si a > b y c > 0, entonces y
Si a > b y c < 0, entonces

4. El producto de dos números reales es positivo si ambos son positivos o negativos. Dicho producto es negativo si uno de los números es positivo y el otro es negativo.

;

Las anteriores propiedades siguen siendo válidas, si sesustituye < y > por y .

Solución de inecuaciones

Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades anteriores para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el nombre de conjunto solución. Y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (ver tabla de“clases de intervalos”)

Ejemplos: (los hace leo.) Resolver las siguientes inecuaciones y expresar las respuestas en tres formas diferentes:
1. 3x – 10 < 2x + 3 2. 10x + 8 > 6x 3. 2x – 3 5x + 16
4. 5. 6.

Ejercicio

Resolver las siguientes inecuaciones y expresar las respuestas en tres formas diferentes:
1. 5 + 3x > 2(3x – 2) 2. 3x(2x – 1) < 6x2 – 5x + 4
3. 4....