Desigualdades

DESIGUALDADES.

Dada una recta l y considerando que las letras minúsculas a, b, c,… denotarán números reales. Al número a asociado al punto A, sobre l, se le llama la coordenada de A.
Una asignación de coordenadas a los puntos de l se llama un sistema de coordenadas o recta real.

Si a y b son reales positivos y a – b es positivo, entonces a es mayor que b (a > b) o equivalentemente b esmenor que a (b < a). Se sigue, de la forma en que se construye la recta coordenada, que si A y B son puntos con coordenadas a y b respectivamente, entonces a > b ó b < a si y sólo si A esta a la derecha de B.

Los símbolos > y < se llaman símbolos de desigualdades y expresiones tales como a > b ó b < a se llaman desigualdades.

Existen dos tipos de desigualdades: las condicionales y lasabsolutas.

x + 3 < 4 es una desigualdad condicional ya que solo es cierta si x < 1.

x2 +1 > 0 es una desigualdad absoluta ya que es válida para todos los valores reales de x.

Resolver una desigualdad significa encontrar todos los valores de la variable o de las variables que la satisfacen.

Los axiomas y teoremas de las desigualdades se aplican para resolverlas.

Sobre todo se usan lassiguientes propiedades:

1. Si a > b y b > c, entonces a > c.

2. Si a > b, a + c > b + c.

3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc.

4. Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

O en palabas:

1. Si un número es mayor que otro y éste es mayor que un tercero, entonces el primer número es mayor que el tercero.
2. El sentido de una desigualdad no se cambia cuando a ambos miembrosse suma el mismo número positivo o negativo.
3. El sentido de una desigualdad no se cambia en el caso en que ambos miembros se multiplican por o se dividen entre el mismo número positivo.
4. El sentido de una desigualdad se invierte cuando ambos miembros se multiplica por o se dividen entre el mismo número negativo.

Cada una de estas operaciones cambia a una desigualdad en una desigualdadequivalente (una desigualdad con el mismo conjunto solución). El proceso de solución consiste en obtener una serie de desigualdades equivalentes que conducen a una desigualdad final cuya solución es evidente.

El símbolo a < b < c significa que a < b y b < c, se dice que b esta entre a y c.

El número no negativo |a| se llama valor absoluto de a.

a, si a( 0
|a| =
-a, si a < 0

Si b es cualquier número positivo, entonces

|a| < b ( - b < a < b

|a| > b ( a < - b ó b < a

|a| = b ( a = - b ó a = b

En el cálculo tienen importancia especial ciertos subconjuntos de R llamados intervalos.

Si a < b, a veces se utiliza el símbolo (a, b)para denotar al conjunto de todos los números reales entre a y b o sea:
(a, b) = {x| a < x < b}

El conjunto (a, b) se llama intervalo abierto.

Los intervalos cerrados denotados por [a, b] y los intervalos semiabiertos denotados por [a, b) y (a, b] se definen:

[a, b] = {x| a ( x ( b}

[a, b) = {x| a ( x < b}

(a, b] = {x| a < x ( b}

Los intervalos infinitos se definen:

(a,() = {x| x > a}

[a, () = {x| x ( a}

(- (, a) = {x| x < a}

(- (, a] = {x| x ( a}

(- (, () = R

1.
EJEMPLOS Y EJERCICIOS DE DESIGUALDADES.

1. 2 – 3x ≤ 2x + 12

(2 – 3x) – (2x + 2) ≤ (2x + 12) – (2x + 2) → – 5x ≤ 10 → – 2 ( x ó {x | – 2 ( x }

2. – 5 < 2x – 3 < 9

– 5 + 3 < 2x – 3 + 3 < 9 + 3 → – 2 < 2x < 12 → – 2/2 < 2x/2 8( x > 8/2 ( 4 < x

Igual que en el caso anterior, las dos desigualdades se deben cumplir simultáneamente, esto es x < 0 y 4 < x nos damos cuenta que la solución es el conjunto vacío.

La solución total será la unión de las soluciones de los dos casos, o sea:

( ( 0 < x < 4

0 4

4. 3/(x – 1) ( 2

Ya que x – 1...