Desigualdades

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Desigualdades

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES

DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE
La expresión a ≠ b significa que " a " no es igual a " b ". Según los valores particulares de a y de b , puede tenerse a > b , que se lee “ a mayor que b ”, cuando la diferencia a − b es positiva y a < bque se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia a − b es negativa. La notación a ≥ b , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que a > b o que a = b pero no ambos. Por su parte, la notación a ≤ b que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que a < b o que a = b pero no ambos. Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con algunode los símbolos > , 3 2) a < 10 3) b ≥ 5 4) x ≤ 1
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Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, se deduce que:
• • • •

Todo número positivo es mayor que cero Todo número negativo esmenor que cero Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto Si a > b entonces b < a .

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa. Existen dos clases de desigualdades: lasabsolutas y las condicionales.
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Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Por ejemplo: x +1 > x
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Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo: 3 x − 15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite de x .

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Desigualdades

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

ax + b > 0 ax + b ≥ 0  Sean a , b ∈ R y a ≠ 0 , una desigualdad de primer grado en una variable x se define como:  ax + b < 0 ax + b ≤ 0 
Propiedades de las desigualdades: Sean a , b , c tres números reales. I. Unadesigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro Esto es, si a > b , entonces se cumple que a + c > b + c . Ejemplos. 1) Si a la desigualdad 7 > 3 se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 7 + 2 > 3 + 2 , ya que: 9 > 5 2) Si a la desigualdad 16 > 8 se le resta 5 a ambos miembros, entonces, se cumple que 16 − 5 > 8 − 5 , ya que: 11 > 3 Consecuenciade esta propiedad, puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido. Es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros. Ejemplo.

8 x − 4 > 3x − 9 8 x − 3 x > −9 + 4

II. Una desigualdad no cambiade sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo. Esto es, dado un número c > 0 , si a > b entonces se cumple que a ⋅ c > b ⋅ c y que

a b > c c

Ejemplos. 1) Si a la desigualdad 5 > 2 se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 5 ⋅ 3 > 2 ⋅ 3 , ya que 15 > 6 2) Si a la desigualdad 36 > 28 sedivide por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que ya que 9 > 7 III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo. Esto es, dado un número c < 0 , si a > b entonces se cumple que a ⋅ c < b ⋅ c y que

36 28 , > 4 4

a b < c c

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