desigualdades

Signos de Desigualdad
Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
≠    no es igual 
      mayor que 
≤    menor o igual que 
≥    mayor o igual que
  

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:
1º Todo número positivo es mayor quecero
Ejemplo:
5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5
2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:
–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9
3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;
Ejemplo:
–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20
 
Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.
Por ejemplo:
                x + 3 < 7
(La punta del signo Ejemplos:  3 < 4,       4 > 3 
  
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.
Propiedades de las desigualdades
1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
                a < b            / ± c  (sumamos o restamos c a ambos lados)
         a ± c < b ± c
Ejemplo                2 + x  >  16          / – 2  (restamos 2 a ambos lados)
           2 + x − 2 > 16 − 2
                       x  >  14
2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:
           a < b            / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
       a • c < b • c   
             a > b          / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)         a • c > b • c
Ejemplo 
                3 ≤ 5 • x   / :5
                3/5 ≤ x    esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:
        a < b              / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
    a • c > b • c 
        a > b             / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
   a • c < b • c
Ejemplo 
                15 – 3 • x ≥ 39                   / −15
                     − 3 • x ≥ 39 – 15           /: −3
                              x ≤ 24: (−3)
                              x ≤ − 8.
Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.
De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar elsentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.









Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta.
Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se incluyen los extremos, y aquellos en quese combinan ambos.
Para representar los intervalos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye.


El dibujo superior grafica el intervalo entre todos los números (x) mayores que 7 (x > 7), excluido el 7,  hasta el infinito (+ ∞)


Este dibujo grafica el intervalo entre los números (x) mayores o iguales a 7 (x ≥ 7), incluyendo el 7, hastael infinito (+ ∞).
Como vemos, la simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo  (mayor que); y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo ≥ (mayor o igual que) o el signo ≤ (menor o igual que).
De acuerdo con la simbología y las características, existen los siguientes tipos de intervalos: 
 
Intervalo abierto, que se graficaSe escribe a < x < b (a es menor que equis y equis es menor que b) y también
(equis pertenece a los reales, tal que a es menor que equis y equis es menor que b)
Esto significa que la solución para la inecuación se encuentra en todos los valores (números reales) entre a y b que hay en la recta numérica, pero que no incluyen ni a  ni b.
 
Intervalo cerrado, que se grafica

Se...

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