Desigualdades

Academia Sabatina de Jóvenes Talentos
Managua-Nicaragua

Definición. Sean , , reales positivos. Definimos:
La media aritmética de los números dados como:

La media geométrica de los númerosdados como:

La media armónica de los números dados como:
.

Teorema: Para cualesquiera números reales positivos , , , se tiene la siguiente desigualdad.


Ejemplo 1. El producto de dosnúmeros positivos es 4. ¿Cuál es el menor valor que puede tener su suma?
Sol. Definamos los dos números como y entonces .
Aplicando desigualdad de media aritmética-geométrica sobre y tenemos
; Deaquí que . Y el resultado es obvio.
Ejemplo 2. Sean , , , números reales positivos y , ,, alguna permutación de , , ..., muestre que:

Sol. Aplicando desigualdad de media aritmética-geométricasobre , , , queda (Puesto que la multiplicación de los numeradores iguala a la de los denominadores). El resultado se sigue.

Ejemplo 3. Sea y dos números reales positivos y un entero positivo,muestre que:

Sol. . De forma análoga .
Como los miembros izquierdos de la desigualdades son mayores que la unidad resulta y

Ejemplo 4. Encuentre el mínimo valor que toma la expresión
?,¿Para qué valor de se da este mínimo ?
Sol.

Luego el mínimo valor para esto es 16. De donde al darse el valor mínimo el valor para x es 2.

Ejemplo 5. Sean , y , tales que . Demuestre queDesigualdad de Cauchy-Schwarz

Sean , , y , , dos sucesiones de números reales. Entonces se cumple

Desigualdad de Cauchy en la forma de Engel

Ejemplo1. Sean , , y números reales. Muestreque

Sol. Por desigualdad de Cauchy-Schwarz a las series de números a, b, c , d y b, c , d, a queda:

Al extraer raíz cuadrada a ambos miembros queda lo pedido.

Desigualdad de Tchebyshev’s:Sean y , entonces

Ejercicios sobre desigualdades.
1. Si a, b > 0 entonces , y la igualdad se logra si y solo si a = b.
2. Dados a, b, c > 0, es posible construir un triángulo...