desigualdades

Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Econ´
omicas
Departamento de Estad´ıstica y Matem´
aticas
Matem´
aticas I
Taller # 4

1. Escribir en forma simb´olica los siguientes enunciados:
a) x es menor o igual que y
b) x no es mayor que y
c) x est´a entre −3 y 15 inclusive
d ) x est´a a menos de 2 unidades de 8
e) x difiere de 3 en menos de dos
f ) La distancia entre 9 y x es de 5
2. RespondaFalso o Verdadero para las siguientes afirmaciones, si es verdadero justifique
y en caso de ser falso d´e un contraejemplo.
a) Si a < b entonces ac < bc
b) Si a < b entonces a2 < b2
c) Si a2 < b2 entonces a < b
d ) Las desigualdades x ≤ y, y ≤ z y z ≤ x, juntas, implican x = y = z
e) Si |x| < |y|, entonces x < y.
f ) Si |x| < |y|, entonces x4 < y 4 .
g) Si a < b < 0, entonces

1
a

>

1
b

h) |x|2= |x2 | = x2
i ) |x + y| = |x| + |y| u
´nicamente cuando x ≥ 0, y ≥ 0
j ) |x| < 3 implica x < 3
k ) |x − 5| < 2 implica 3 < x < 7
l ) Si a ≤ b entonces a2 ≤ ab
m) Si a ≤ b entonces a − 2 ≤ b − 2
n) La ecuaci´on |x − 2| = −1 no tiene soluci´on en R
n
˜) | − x| = −x
1

o) No existe un x ∈ R tal que |x − 1| = |x − 2|
3. Resuelva la desigualdad. Exprese la soluci´on en forma de intervalo e ilustreel conjunto
soluci´on en la recta real.
a) −7 < 3 + 2x < 8

j ) x2 > 3(x + 6)

b) −3 < 1 − 6x ≤ 4

k ) x(x2 − 4) ≥ 0

c) 3x + 11 ≤ 6x + 8

l)

x−3
x+1

≥0

d ) 5 − 3x ≤ −(2 + 11x)

m)

4x
2x+3

e) (2x − 1)(4 − x) > 0

n)

1
1−x

f ) x2 − 3x − 18 ≤ 0

n
˜)

7
4x

g) x2 + 5x + 6 > 0

o) (2x − 3)(x − 1)2 (x − 3) ≥ 0

h) 2x2 + x ≥ 1

p)

i ) 9 − x2 ≤ −3

q) (x + 1)(x2 + 2x − 7) ≥ x2 − 1

>2
≤

3
x

≤7(x−1)2
(x+1)(x+2)

>0

4. Encuentre los valores de x que satisfacen
a) |x + 1| = 5

d ) |x + 2||x − 2| = 0

b) |2x + 5| = 7x − 2

e) |x + |x − 1|| = 2

c) | 25 x − 3| = |x + 1|

x−8
|=2
f ) | x+5

5. Resuelva la desigualdad. Exprese la soluci´on en forma de intervalo e ilustre el conjunto
soluci´on en la recta real.
a) |x − 2| ≥ 5

f ) | x1 − 3| > 6

b) |x + 2| < 1

g) |2 + x5 | ≤ 1

c)

x−1
|x−3
|

<1

h) |x − 2| < 2|x − 5|

d ) |3x − 2| ≤ 0,04
e)

1
|x+7|

i ) 3|3x − 2| < |x + 10|

>2

6. La compa˜
n´ıa Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta se $20 y
un costo unitario de 15. Si los costos fijos de $600000, determine el n´
umero m´ınimo de
unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.
7. Para producir una unidad de un producto nuevo, unacompa˜
n´ıa determina que el costo
del material es de $2,50 y el de mano de obra de $4. El costo fijo constante, sin importar
2

el volumen de ventas, es de $5000. Si el precio para un mayorista es de $7,40 por unidad,
determine el n´
umero m´ınimo de unidades que deben venderse para que la compa˜
n´ıa
obtenga utilidades.
8. Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre el costo de comprarun
autom´ovil y el arrendarlo con opci´on de compra. Puede rentar un autom´ovil por $420
al mes (cotizado anualmente). Bajo este plan, el costo por milla (gasolina y aceite) es
$0,06. Si comprara el autom´ovil, el gasto fijo anual seria de $4700, y los otros costos
ascender´ıan a $0,08. Por milla. ¿Cu´al es el m´ınimo de millas que tendr´ıa que conducir
por a˜
no para que el arrendamiento nofuese m´as caro que la compra?
9. Una f´abrica de camisetas produce N prendas con un costo de mano de obra total (en
d´olares) de 1,3N y un costo total por material de 04N . Los costos fijos constantes de
la planta son de $6500. Si cada camiseta se vende en $3,50. ¿Cu´antas deben venderse
para que la compa˜
n´ıa obtenga utilidades?
10. El costo unitario de publicaci´on de una revista es de $0,55. Cadarevista se vende
al distribuidor en $0.60, y la cantidad que se recibe por publicidad es el 10 % de la
cantidad recibida por todas las revista vendidas por arriba de las 30000. Encuentre
el n´
umero m´ınimo de revistas que pueden publicarse sin p´erdida - esto es, tal que la
utilidad ≥ 0-suponiendo que se vender´an 90 % de los ejemplares.
11. Una compa˜
n´ıa produce relojes despertadores....