Desigualdaes e Intervalos

DESIGUALDADES E INTERVALOS

1.

INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales.
En general, si los extremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado, si por el contrario no pertenecen al intervalo, se dice que es abierto. Si uno de extremos pertenece al conjunto y el otro semiabierto o semicerrado. no, se dice que

CLASES DE INTERVALOS

COMO CONJUNTO

TIPO DEINTERVALO

REPRESENTACION GEOMETRICA

{x / a ≤ x ≤ b}
] {x / a ≤ x ≤ b} {x / a 〈 x ≤ b}

[a, b] CERRADO [a, b ) SEMICERRADO ALA
IZQUIERDA

[

]

a
[

b
)

(a, b] SEMICERRADO A LA (a, b ) ABIERTO

a
(

b
]

{x / a ≤ x ≤ b} {x / x〉 a}

DERECHA

a
(

b
)

(a, α )

a
(

b

{x / x ≥ a}
{x / x〈b}

[a,α )
(− α , b )

[
)

b

{x / x ≤ b}

(α , b]

]{x / x ∈ ℜ}

(− α ,α )
0

b
R

Ejemplos

Dibujar los siguientes intervalos

1.

[2,5)
0

[
2

) 5
) 6

2.

(− 3, 6)
-3

(
0

3.

{x ≤ 4}
0

]
4

4.

{x 〉 − 3}

(
-3 0

5.

[− 1, 6]

[
-3 0

]
6

OPERACIONES BÁSICAS ENTRE INTERVALOS

Los intervalos se operan análogamente como los conjuntos. Mediante ejemplos analizaremos, complemento.Sean A: estas operaciones como unión, intersección, diferencia y

[− 3,6]

B:

[3,9)

C:

(− 5,4 )

Calcular

1)

A∩ B

[
-3 0

[
3

]
6

)
9

La intersección corresponde a la región común a los intervalos, es decir,

A ∩ B = [3,6]
B ∪C
(
-5 0

2)

[
3

)
46

]

La unión corresponde a las regiones comprendidas por los dos conjuntos (reunión), esdecir BUC=

(− 5,6].

1)A-B

[
-3 0

[
3

]
6 9

)

La diferencia corresponde a la región que corresponde al intervalo A que no pertenezca a B, es decir,

A − B = [− 3,3)
(
-5

4) C-A

B

[
-3 0

)
4

]
6

La diferencia corresponde, a la región que pertenece A C y no pertenece a A, es decir

C − A = (− 5 − 3 )
5) B' Solución como

B = [3,9 )

El conjuntode un intervalo, es lo que le falta al intervalo para llegar a los reales. En nuestro caso.

B = (− α ,3) ∪ (9, α )
Obsérvese, cuando se busca el complemento, se debe tener en cuenta que los extremos no sean infinitos, cambian su condición, es decir se está cerrando se abre y viceversa.

6) C' El complemento, teniendo las observaciones del problema atender, es: Solución: Como

C ' = (− α,−5] ∪ [4,α )

C = (− 5 − 4 )

DESIGUALDADES
1. INTRODUCCION

ORDEN DE LA RECTA NUMERICA
Decir que

a〈b,

significa que a está a la izquierda de b, en la recta numérica

_______________a_____________________b________________R

Si

a 〈b ⇔ b − a〉 0, es decir, que el conjunto de los números reales es un

conjunto ordenado.

PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES

Si

a, b y c

sonnúmeros reales

1. TRICOTOMIA Si a y b son número reales, se cumple una y solo una de las siguientes propiedades:

a 〈b

o

a=b

o

a〉 b

2. TRANSITIVA Si

a 〉 b , y b〉 c ⇒ a 〉 c

Ejemplo

12〉8 , y , 8〉 5 ⇒ 12〉 5
3. ADITIVA Si

a〉 b ⇒ a + c 〉 b + c 9 〉 2 , entonces, 9 + 5 〉 2 + 5
4. MULTIPLICATIVA

Ejemplo Si

⇒ 14 〉 7

a) Si Si

c 〉 o, se cumple que a 〉 b ⇒ a.c 〉b.c 8 〉 − 2 y c = 4 ⇒ 8.4 〉 − 2.4 ⇒ 32 〉 − 8

Ejemplo: Sea

b) Si

a 〉 b ⇒ a.c 〈 b.c

Ejemplo: Si

− 3 〉 − 7 ⇒ (− 3) (− 5) 〈 (− 7 ) (− 5)
⇒ 15 〈 35

5. Si

a 〉 b y c〉 d ⇒ a + c 〉 b + d 8〉 5 y 7〉 4 ⇒ 8 + 7 〉 5 + 1 ⇒ 15〉 9

Ejemplo: Si

6. Si

a〉 0 ⇒ − a 〈 0 si 8〉 0 ⇒ − 8〈 0

Ejemplo:

7.

Si a ≠ 0, a 2 〉 0
Ejemplos

Si 8〉 0 ⇒ 82 = 64 〉 0
2

Si − 7〈 0 ⇒ (− 7 ) = 49〉 08.

Si a〉 0 ⇒

1 〉0 a

Ejemplo

Si 7 〉 0 ⇒

1 〉0 7 a b 〉 c c

9.

Si a〉b y c〉 0, entonces,
Ejemplo

Si 10〉 5 ⇒

10 5 〉 ⇒ 2〉1 5 5 a b 〈 c c

10.

Si a〉 b y c〈o ⇒
Ejemplo:

Si 24 〉 16 ⇒

24 16 〈 ⇒ −3〈 −2 −8 8

LAS PROPIEDADES SE CUMPLEN CUANDO SE TIENEN LA RELACIÓN DE

〈 O 〉
SOLUCION DE DESIGUALDADES
Resolver una desigualdad es un proceso que consisten en...