Desigualdedes

ATEMÁTICAS BÁSICAS
DESIGUALDADES
DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE
La expresión a ¹ b significa que " a " no es igual a " b ".
Según los valores particulares de a y de b , puede tenerse a > b , que se lee “ a mayor que b ”, cuando
la diferencia a - b es positiva y a < b que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia a - b es
negativa.
La notación a ³ b , que se lee “ a esmayor o igual que b ”, significa que a > b o que a = b pero no
ambos. Por su parte, la notación a £ b que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que a < b o que
a = b pero no ambos.
Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno
de los símbolos >, 3
2) a < 10
3) b ³ 5
4) 1 2 x £
Lo mismo que en las igualdades, en todadesigualdad, los términos que están a la izquierda del signo
mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el
segundo miembro.
De la definición de desigualdad, se deduce que:
· Todo número positivo es mayor que cero
· Todo número negativo es menor que cero
· Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto
· Si a > b entoncesb < a .
Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer
miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el
miembro mayor se convierte en menor o viceversa.
Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.
· Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valorque se atribuya a las literales
que figuran en ella. Por ejemplo: x +1 > x 2
· Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por
ejemplo: 3x -15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite
de x .
2
Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.
Sean a,bÎR y a ¹ 0 , una desigualdad de primer gradoen una variable x se define como:
 

 


+ £
+ <
+ ³
+ >
0
0
0
0
ax b
ax b
ax b
ax b
Propiedades de las desigualdades:
Sean a,b, c tres números reales.
I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro
Esto es, si a > b , entonces se cumple que a + c > b + c .
Ejemplos.
1) Si a la desigualdad 7 > 3 se le suma 2 a ambosmiembros, entonces, se cumple que 7 + 2 > 3 + 2 ,
ya que: 9 > 5
2) Si a la desigualdad 16 > 8 se le resta 5 a ambos miembros, entonces, se cumple que 16 - 5 > 8 - 5 ,
ya que: 11 > 3
Consecuencia de esta propiedad, puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad,
teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido. Es decir, se puede
pasar un términode un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una
misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo.
8x - 4 > 3x - 9
8x - 3x > -9 + 4
II. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor
positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo.
Esto es, dado un número c > 0 , si a > b entonces se cumple que a × c> b × c y que
c
b
c
a >
Ejemplos.
1) Si a la desigualdad 5 > 2 se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 5×3 > 2 ×3 ,
ya que 15 > 6
2) Si a la desigualdad 36 > 28 se divide por 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que
4
28
4
36 > ,
ya que 9 > 7
III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor
negativo, o sedividen por un mismo divisor, también negativo.
Esto es, dado un número c < 0 , si a > b entonces se cumple que a × c < b × c y que
c
b
c
a <
3
Ejemplos.
1) Si a la desigualdad 6 > 3 se multiplica por - 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que
6(- 4)< 3(- 4), ya que - 24 < -12
2) Si a la desigualdad 16 >10 se divide por - 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que
2
10
2
16
-
<...