desilgualdades
Páginas: 31 (7637 palabras)
Publicado: 27 de abril de 2013
Universidad de Sonora
División de Ciencias Exactas y
Naturales
Departamento de Matemáticas.
Problemas Resueltos de Desigualdades
y
Programación Lineal
Para el curso de Cálculo Diferencial
de Químico Biólogo
Dr. José Luis Díaz Gómez
Segunda versión.
2003
1
Desigualdades
Contenido
I.Desigualdades............................................................................................................... 3
0. Introducción................................................................................................................. 3
1. Propiedades de las desigualdades. .............................................................................. 3
2. Intervalos..................................................................................................................... 3
3. Problemas de desigualdades resueltos. ....................................................................... 4
4. Valor Absoluto. .......................................................................................................... 18
5. Propiedades del valor absoluto: ................................................................................ 19
6.Desigualdades y valor absoluto................................................................................. 20
7. Desigualdad Lineal en Dos Variables....................................................................... 23
8. Desigualdades lineales simultáneas.......................................................................... 27
9. Solución Gráfica a Problemas de Programación Lineal......................................... 32
II. Problemas para resolver........................................................................................... 38
Bibliografía:................................................................................................................... 44Indíce.............................................................................................................................. 45
2
I. Desigualdades.
0. Introducción.
Resolver ecuaciones, por ejemplo, ─6x + 17 = 8 o x2 - 2x - 5 = 0─ es una de las tareas
tradicionales de las matemáticas. Pero es casi de la misma importancia en cálculo
saber resolver una desigualdad por ejemplo ─2x + 6 b; iii) a < b
2. Si a < b y b < c, entonces a <
c (propiedad transitiva).
a
3. Si a < by c ∈ IR, entonces a +
c < b + c.
c
c
a
4. Si a < b, y c > 0 entonces ac <
bc
a
c
b
b
b+c
ac
b
a+c
bc
5. Si a < b, y c < 0 entonces ac > bc. Podemos tener los tres casos siguientes.
-bc
-ac
0
a
-bc < -ac
b
-a
-b
0 bc
bc < ac
ac
-bc
-a
0
b
ac
-bc < ac
2. Intervalos.
Definición: Dados dos números a, b enIR, con a menor que b, el intervalo definido por
a y b es el conjunto de números x en IR que están entre a y b.
Los puntos a y b pueden o no pertenecer al intervalo, entonces podemos tener los
siguientes casos:
1. Si a y b pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo cerrado y escribimos: [a, b] =
{x ∈ IR ⎟ a ≤ x ≤ b}.
3
[
]
a
b
2. Si a y b no pertenecen al intervalo,éste se llama intervalo abierto y escribimos: (a, b)
= {x ∈ IR ⎟ a < x < b}
(
a
)
b
3. Si alguno de los extremos, pero no ambos, pertenece al intervalo tenemos estos dos
casos (intervalos semiabiertos o semicerrados):
[
a
(
a
)
b
]
b
La noción de intervalo se puede extender, para denotar al conjunto de las x ∈ IR que son
más grandes o más chicas que un número dado.Por ejemplo, para denotar al conjunto { x ∈ IR ⎟ x > a} escribimos (a, + ∞ ).
Los siguientes conjuntos son intervalos:
(a, + ∞) = { x ∈ IR ⎟ x > a}
(
a
+∞
[a, + ∞) = { x ∈ IR ⎟ x ≥ a}
[
a
+∞
( - ∞, b) = {x ∈ IR ⎟ x < b }
-∞
( - ∞, b] = {x ∈ IR ⎟ x ≤ b }
-∞
( - ∞, +∞) = IR
)
b
]
b
+∞
-∞
3. Problemas de desigualdades resueltos.
1. Completa la tabla...
División de Ciencias Exactas y
Naturales
Departamento de Matemáticas.
Problemas Resueltos de Desigualdades
y
Programación Lineal
Para el curso de Cálculo Diferencial
de Químico Biólogo
Dr. José Luis Díaz Gómez
Segunda versión.
2003
1
Desigualdades
Contenido
I.Desigualdades............................................................................................................... 3
0. Introducción................................................................................................................. 3
1. Propiedades de las desigualdades. .............................................................................. 3
2. Intervalos..................................................................................................................... 3
3. Problemas de desigualdades resueltos. ....................................................................... 4
4. Valor Absoluto. .......................................................................................................... 18
5. Propiedades del valor absoluto: ................................................................................ 19
6.Desigualdades y valor absoluto................................................................................. 20
7. Desigualdad Lineal en Dos Variables....................................................................... 23
8. Desigualdades lineales simultáneas.......................................................................... 27
9. Solución Gráfica a Problemas de Programación Lineal......................................... 32
II. Problemas para resolver........................................................................................... 38
Bibliografía:................................................................................................................... 44Indíce.............................................................................................................................. 45
2
I. Desigualdades.
0. Introducción.
Resolver ecuaciones, por ejemplo, ─6x + 17 = 8 o x2 - 2x - 5 = 0─ es una de las tareas
tradicionales de las matemáticas. Pero es casi de la misma importancia en cálculo
saber resolver una desigualdad por ejemplo ─2x + 6 b; iii) a < b
2. Si a < b y b < c, entonces a <
c (propiedad transitiva).
a
3. Si a < by c ∈ IR, entonces a +
c < b + c.
c
c
a
4. Si a < b, y c > 0 entonces ac <
bc
a
c
b
b
b+c
ac
b
a+c
bc
5. Si a < b, y c < 0 entonces ac > bc. Podemos tener los tres casos siguientes.
-bc
-ac
0
a
-bc < -ac
b
-a
-b
0 bc
bc < ac
ac
-bc
-a
0
b
ac
-bc < ac
2. Intervalos.
Definición: Dados dos números a, b enIR, con a menor que b, el intervalo definido por
a y b es el conjunto de números x en IR que están entre a y b.
Los puntos a y b pueden o no pertenecer al intervalo, entonces podemos tener los
siguientes casos:
1. Si a y b pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo cerrado y escribimos: [a, b] =
{x ∈ IR ⎟ a ≤ x ≤ b}.
3
[
]
a
b
2. Si a y b no pertenecen al intervalo,éste se llama intervalo abierto y escribimos: (a, b)
= {x ∈ IR ⎟ a < x < b}
(
a
)
b
3. Si alguno de los extremos, pero no ambos, pertenece al intervalo tenemos estos dos
casos (intervalos semiabiertos o semicerrados):
[
a
(
a
)
b
]
b
La noción de intervalo se puede extender, para denotar al conjunto de las x ∈ IR que son
más grandes o más chicas que un número dado.Por ejemplo, para denotar al conjunto { x ∈ IR ⎟ x > a} escribimos (a, + ∞ ).
Los siguientes conjuntos son intervalos:
(a, + ∞) = { x ∈ IR ⎟ x > a}
(
a
+∞
[a, + ∞) = { x ∈ IR ⎟ x ≥ a}
[
a
+∞
( - ∞, b) = {x ∈ IR ⎟ x < b }
-∞
( - ∞, b] = {x ∈ IR ⎟ x ≤ b }
-∞
( - ∞, +∞) = IR
)
b
]
b
+∞
-∞
3. Problemas de desigualdades resueltos.
1. Completa la tabla...
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