Desviación integral

Resolución de problemas de máximos y mínimos:
En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos:
• Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra.
• Hacer un dibujo cuando sea necesario.
• Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir unaecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.
• Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar)
• Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.
• Obtener la primera derivada de esta función para determinar losvalores críticos.
• Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos.
• Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema
• Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.
• En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas por lo que a continuaciónse especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas sobre áreas y volúmenes:

1.
Círculo de radio r con centro en
Ecuación:
Circunferencia:
Área:
2.

Sector circular;
Área: donde es el ángulo central medio en radianes.

Área: donde s es la longitud del arco AB
3.

Trapecio

Área: , donde B es la longitud de la base mayor, b es la de la basemenor y h es la altura del trapecio.

4.













Ver en ambiente 3D
Cilindro circular recto de altura h y radio de la base r.
Volumen:
Área lateral:
Área total:
5.

Ver en ambiente 3D
Cono circular recto de altura h y radio de la base r.
Volumen:
Superficie lateral: . L donde L es la generatriz está dada por:

6.

Ver en ambiente3D
Esfera de radio r.
Volumen:

Superficie:

c.
Ejemplos:

1.
Determinar dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor posible.

Solución:

Se debe de maximizar el producto P de dos números positivos.

Sean estos números: x, y

Luego

Como la suma de esos números es 10, entonces es la ecuación auxiliar, de donde .Entonces:

Se debe de determinar el valor de x que hace máxima la función

Derivando:

Valores críticos:

En se tiene un valor crítico, y se debe estudiar si es un valor mínimo o un valor máximo.

Como entonces por lo que en se tiene un valor máximo.

Si entonces . Luego, los números positivos cuyo producto es máximo y cuya suma es 10 son ambos iguales a 5.

2.
Unrectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

Solución:

Se debe maximizar el área A de un rectángulo:
Designemos con "x", "y" las longitudes de los lados del rectángulo.
Luego

Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces la ecuación auxiliar es: de donde .

Luego

Como y entonces es unvalor crítico.

Analicemos si este valor es máximo o mínimo utilizando el criterio de la segunda derivada.

Como y , entonces es un valor máximo.

Si entonces por lo que un cuadrado de lado 30 es el rectángulo de mayor área y perímetro 120m.

3.
Una recta variable que pasa por el punto corta al eje X en y al eje Y en . Hallar el área del triángulo de superficie mínima,suponiendo A y B positivos.

Solución:

Se debe minimizar el área T de un triángulo.

Gráficamente se tiene:


El triángulo es rectángulo y su área está dada por

La recta pasa por los puntos , y , por lo que la pendiente está dada como sigue:

i.
Tomando y :
ii.
Tomando y :
Luego: es la ecuación auxiliar, de donde (*)

Entonces

,

Como...