DeterC2
Páginas: 33 (8210 palabras)
Publicado: 20 de octubre de 2015
MATEMATICAS
2º Bachillerato
Proyecto
MaTEX
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
Determinantes
CIENCIAS
MaTEX
Determinantes
Fco Javier Gonz´
alez Ortiz
Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Art´ıculo
c 2004 gonzaleof@unican.es
11 de junio de 2004
Doc Doc
Versin 1.00
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MATEMATICAS
2º Bachillerato
1. Introducci´
on
2. Determinantes
2.1. Propiedades
2.2. C´
alculo de determinantes con laspropiedades
3. Determinantes de orden superior
3.1. Adjunto de un elemento
3.2. Desarrollo de un determinante por adjuntos
4. Aplicaciones de los determinantes
4.1. Inversa de una matriz
• Inversa de una matriz 2 × 2 • Inversa de una matriz 3 × 3
4.2. C´
alculo del rango de una matriz
• Menores de una matriz • M´etodo pr´
actico
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests
r=A+lu
A
d
Bs=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Determinantes
Tabla de Contenido
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Secci´
on 1: Introducci´
on
3
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
1. Introducci´
on
A
En el cap´ıtulo de sistemas hemos aprendido a resolver sistemas por el
m´etodo de Gauss. La idea de expresar las soluciones en funci´on de los coeficientes y los t´erminos independientes llev´
o a Leibnitz en el siglo XVII, a lateor´ıa de los determinantes.
El uso de determinantes nos permitir´
a
Calcular la inversa de una matriz
Expresar la soluci´on de un sistema de ecuaciones y
Determinar el rango de una matriz.
2. Determinantes
Definici´
on 2.1 Sea A una matriz de orden 2, llamamos determinante de la
matriz A y lo representamos como |A|, al n´
umero
|A| =
a b
c d
= ad − bc
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Determinantes
Losdeterminantes hist´
oricamente son previos a las matrices. Si bien su
importancia en un principio fu´e mayor en la actualidad el concepto de matriz
ha resultado m´as f´ertil.
(1)
Doc Doc
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Secci´
on 2: Determinantes
4
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
2.1. Propiedades
A
a+a
c
b+b
d
λa
c
a b
c d
=
λb
d
=λ
+
a
c
b
d
a b
c d
(D1a)
(D1b)
D2 El determinante cambia designo cuando se intercambian dos l´ıneas
consecutivas,
c d
a b
= cb − ad = −
(D2)
a b
c d
D3 El determinante de la matriz identidad es 1,
1
0
0
1
=1
(D3)
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Determinantes
D1 El determinante es una funci´
on lineal de cualquiera de sus filas o columnas. Como las operaciones lineales con vectores son la suma y producto
por un escalar, en realidad esta propiedad expresados reglas:
D4 Si dos l´ıneas paralelas de A son iguales, el determinante es nulo,
a
a
b
b
= ab − ba = 0
(D4)
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Secci´
on 2: Determinantes
5
D5 Si sumamos a una linea de A un m´
ultiplo de otra linea paralela, el
determinante no varia,
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
=
a b
c d
c
c
+k
d
d
=
a b
c d
(D5)
CIENCIAS
D6 Si A tiene una linea nula, eldeterminante es nulo,
a 0
c 0
=0
(D6)
D7 Si A es una matriz triangular, el determinante es el producto de los
elementos de la diagonal,
a b
0 d
= ad
(D7)
D8 El determinante de A y de AT son iguales,
a b
c d
=
a c
b d
B
s=B+mv
(D8)
MaTEX
Determinantes
a+kc b+kd
c
d
D9 Si una linea es m´
ultiplo de otra linea paralela, el determinante es nulo,
a λa
c λc
=λ
a
a
c
c
=0
(D9)
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Secci´
on 2: Determinantes
Test. Hallar
6
para que se cumpla
3·2
5
3·4
1
=
2
5
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
4
1
A
d
(b) 3
(c) 2
(d) 4
CIENCIAS
Ejercicio 1. Expresa como sumas los determinantes
a+1 4
a − 1 2a + 4
a)
b)
a+2 7
1+a
a
m
p
Inicio del Test A partir de
1. El valor de
p
q
2m
2n
3. El valor de
= · · · es,
m 5m
p 5p
−4
1
Final del Test Puntos:
0
2
0
50
3
= · · · es,
4
m+p
p
MaTEX
= 3, hallar :
−6
6
2. El valor de
n
q
n+q
q
6
B
s=B+mv
Determinantes
(a) 1
= · · · es,
Correctas
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Secci´
on 2: Determinantes
7
Inicio del Test A partir de
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
a b
c d
A
= 4, hallar :
d
2a b
2c d
0
2. El valor de
b
d
a
c
4. El valor de
a + 3b
b
−4
5. El valor de
3
Final del Test...
2º Bachillerato
Proyecto
MaTEX
r=A+lu
A
d
B
s=B+mv
Determinantes
CIENCIAS
MaTEX
Determinantes
Fco Javier Gonz´
alez Ortiz
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Inicio Art´ıculo
c 2004 gonzaleof@unican.es
11 de junio de 2004
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MATEMATICAS
2º Bachillerato
1. Introducci´
on
2. Determinantes
2.1. Propiedades
2.2. C´
alculo de determinantes con laspropiedades
3. Determinantes de orden superior
3.1. Adjunto de un elemento
3.2. Desarrollo de un determinante por adjuntos
4. Aplicaciones de los determinantes
4.1. Inversa de una matriz
• Inversa de una matriz 2 × 2 • Inversa de una matriz 3 × 3
4.2. C´
alculo del rango de una matriz
• Menores de una matriz • M´etodo pr´
actico
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests
r=A+lu
A
d
Bs=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Determinantes
Tabla de Contenido
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Secci´
on 1: Introducci´
on
3
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
1. Introducci´
on
A
En el cap´ıtulo de sistemas hemos aprendido a resolver sistemas por el
m´etodo de Gauss. La idea de expresar las soluciones en funci´on de los coeficientes y los t´erminos independientes llev´
o a Leibnitz en el siglo XVII, a lateor´ıa de los determinantes.
El uso de determinantes nos permitir´
a
Calcular la inversa de una matriz
Expresar la soluci´on de un sistema de ecuaciones y
Determinar el rango de una matriz.
2. Determinantes
Definici´
on 2.1 Sea A una matriz de orden 2, llamamos determinante de la
matriz A y lo representamos como |A|, al n´
umero
|A| =
a b
c d
= ad − bc
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Determinantes
Losdeterminantes hist´
oricamente son previos a las matrices. Si bien su
importancia en un principio fu´e mayor en la actualidad el concepto de matriz
ha resultado m´as f´ertil.
(1)
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on 2: Determinantes
4
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
2.1. Propiedades
A
a+a
c
b+b
d
λa
c
a b
c d
=
λb
d
=λ
+
a
c
b
d
a b
c d
(D1a)
(D1b)
D2 El determinante cambia designo cuando se intercambian dos l´ıneas
consecutivas,
c d
a b
= cb − ad = −
(D2)
a b
c d
D3 El determinante de la matriz identidad es 1,
1
0
0
1
=1
(D3)
d
B
s=B+mv
CIENCIAS
MaTEX
Determinantes
D1 El determinante es una funci´
on lineal de cualquiera de sus filas o columnas. Como las operaciones lineales con vectores son la suma y producto
por un escalar, en realidad esta propiedad expresados reglas:
D4 Si dos l´ıneas paralelas de A son iguales, el determinante es nulo,
a
a
b
b
= ab − ba = 0
(D4)
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on 2: Determinantes
5
D5 Si sumamos a una linea de A un m´
ultiplo de otra linea paralela, el
determinante no varia,
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
=
a b
c d
c
c
+k
d
d
=
a b
c d
(D5)
CIENCIAS
D6 Si A tiene una linea nula, eldeterminante es nulo,
a 0
c 0
=0
(D6)
D7 Si A es una matriz triangular, el determinante es el producto de los
elementos de la diagonal,
a b
0 d
= ad
(D7)
D8 El determinante de A y de AT son iguales,
a b
c d
=
a c
b d
B
s=B+mv
(D8)
MaTEX
Determinantes
a+kc b+kd
c
d
D9 Si una linea es m´
ultiplo de otra linea paralela, el determinante es nulo,
a λa
c λc
=λ
a
a
c
c
=0
(D9)
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Secci´
on 2: Determinantes
Test. Hallar
6
para que se cumpla
3·2
5
3·4
1
=
2
5
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
4
1
A
d
(b) 3
(c) 2
(d) 4
CIENCIAS
Ejercicio 1. Expresa como sumas los determinantes
a+1 4
a − 1 2a + 4
a)
b)
a+2 7
1+a
a
m
p
Inicio del Test A partir de
1. El valor de
p
q
2m
2n
3. El valor de
= · · · es,
m 5m
p 5p
−4
1
Final del Test Puntos:
0
2
0
50
3
= · · · es,
4
m+p
p
MaTEX
= 3, hallar :
−6
6
2. El valor de
n
q
n+q
q
6
B
s=B+mv
Determinantes
(a) 1
= · · · es,
Correctas
Doc Doc
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Secci´
on 2: Determinantes
7
Inicio del Test A partir de
MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
a b
c d
A
= 4, hallar :
d
2a b
2c d
0
2. El valor de
b
d
a
c
4. El valor de
a + 3b
b
−4
5. El valor de
3
Final del Test...
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