Determiacion de pi

Determinaci´n de la constante π o
Juan Camilo Escobar
Ingenieria Mec´nica a

Isabel Guzm´n a
Qu´ ımica

Julian Esteban Henao
Ingenier´ Topogr´fica ıa a Hemos determinado la constante π de forma indirecta a partir de su definici´n matem´tica. o a Para esto, hemos realizado la medici´n de los per´ o ımetros y di´metros de cinco circunferencias de a distintos tama˜os utilizando un metro y uncalibrador, lo cual nos permite tener un estimativo n sencillo pero de poca precisi´n. Para tener un mejor estimativo del resultado, hemos considerado o las mediciones realizadas por nuestro grupo y las hemos contrastado con los resultados obtenidos al considerar las mediciones realizadas por todos los grupos de la clase, mostrando esto que para mejorar mejorar la confiabilidad del resultado sedeben repetir muchas veces las mediciones y emplear m´todos estad´ e ısticos para realizar el an´lisis. El resultado obtenido con su respectiva incertidumbre a se encuentra en un intervalo en el cual, como era de esperarse est´ contenido el valor de π. a ´ INTRODUCCION

I.

Es bien sabido que el conciente entre el per´ ımetro y el di´metro de una circunferencia cualquiera es una consa tante, lacual conocemos con el s´ ımbolo π. Recientemente se ha determinado el valor de esta constante con gran precisi´n, obteniendo resultados hasta con 12 mil d´ o ıgitos decimales1 por mecanismos computacionales de alta precisi´n. o Es posible obtener un estimativo de π empleando m´toe dos de laboratorio supremamente sencillos. En el presente trabajo, vamos a presentar los resultados obtenidos utilizandoun metro, un calibrador y cinco circunferencias de diferentes tama˜os. Con la realizaci´n de este experin o mento hemos adquirido destreza en el uso de algunas herramientas de laboratorio, nos hemos familiarizado con los conceptos de incertidumbre, error, y adem´s hemos a desarrollado habilidades con los m´todos para analizar e datos experimentales. Por otro lado, hemos utilizado las medicionesobtenidas por otros grupos para realizar un an´lisis estad´ a ıstico de los resultados, lo cual nos permite un an´lisis m´s profundo para entender las posibles caua a sas de error, con lo cual obtuvimos un mejor estimativo de π como se evidencia en los resultados. El procedimiento te´rico se presenta en la Secci´n II. Los resultados y o o discusi´n est´n en la Secci´n III, y las conclusiones en lao a o Secci´n IV. o

La relaci´n (1) sugiere que a partir de las mediciones o del perimetro y el diametro de una circunfurencia, puede ser determinada la constante π. En efecto, en la pr´ctia ca de laboratorio se realizaron mediciones de estas dos cantidades para diferentes circunferncias, lo que permitir´ la determinaci´n de π empleando el m´todo de m´ a o e ınimos cuadrados.

A.

M´todo dem´ e ınimos cuadrados

Al hacer mediciones de dos variables f´ ısicas, que est´n e relacionadas linealmente, se debe hallar la recta que m´s a se ajuste a los datos experimentales para realizar la gr´fia ca y esto se logra reduciendo la distancia entre los puntos por medio de regresiones lineales. Las regresiones lineales usualemente se usan para modelar el resultado de una funci´n de una ovarias variables. Existen varios tipos de o regresiones, una de las m´s representativas es la regrea si´n lineal simple? . Esta, se utiliza cuando s´lo se tiene o o una variable independiente, dando como resultado una relaci´n lineal que puede expresarse como la ecuaci´n de o o una recta de la forma Y (x) = a + bx. (2)

II.

´ MARCO TEORICO

En esta pr´ctica es determinada de forma indirecta laa constante π, definida como la relaci´n entre el perimetro o (P ) de una circunferencia y su di´metro (d)? a π = P/d. (1)

Donde a es el intercepto con el eje Y cuando x = 0 y b es la pendiente de la recta. Los datos experimentales quedar´n dispersos alrededor de la recta en la gr´fica a a siendo, entre menor el error de medici´n, m´s cercanos a o a la l´ ınea. Con la regresi´n lineal simple...