determiantes







Apuntes de la Cátedra:



ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA












Ing. Rodolfo Iturraspe Profesor Adjunto
Prof. Juana Candia J. de Trabajos Prácticos
Ing. Sergio Luppo Auxiliar de Primera





Años 1999-2001

DETERMINANTES
Contenidos
Función determinante. Regla de Sarrus. Determinante de una matriz triangular. Propiedades de losdeterminantes. Efectos sobre el determinante al aplicar operaciones elementales. Determinante de matrices equivalentes. Determinante de matrices singulares y no singulares. Determinante del producto. Métodos de cálculo. Inversión de matrices por la Adjunta. Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Solución única en S.E.L. Regla de Cramer.


Función determinante
Sea A matriz cuadradade orden n x n sobre un cuerpo K.



Especificaremos la función para distintos valores de n y analizaremos su significado

Sea n = 1 y la ecuación lineal
a x = b que tiene solución única si a  0

Consideremos la matriz 1 x 1 A = (a) . Para tal caso definimos D(A) = a
 A-1  D(A)  0 ya que A-1 = (1/a)

Sea n = 2 y el sistema en dosvariables:
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2

Analicemos la posibilidad de solución única: para ello es necesario que a11 o a21 sean no nulos. Supongamos a11  0
El sistema tiene solución única si es equivalente a la forma:

x1 = 1
x2 = 2

Para ello la matriz de coeficientes del sistema debe ser equivalente a I. Aplicamos operaciones elementales (GaussJordan) Tomando pivote en a11 0

a11 a12 1 a12/ a11
a21 a22  0 a22 - a12 a21
a11

Para llevar la matriz de la derecha a la identidad es necesario que
a22 - a12 a21 = a11 a22 - a12 a21  0a11 a11

La condición “determinante” para que este sistema tenga solución única, y que  A-1 es:
a11 a22 - a12 a21  0

Definición: Sea (aij) de orden 2x2  D(A) = a11 a22 - a12 a21
a11 a12
D(A) = = a11 a22 - a12 a21
a21 a22

Definición: Menor complementarioMij de un elemento aij de una matriz de orden nxn, es el determinante de la matriz que resulta al eliminar la fila i y la columna j

Ejemplo
A= M22 = = 1x1 – 4x0 = 1



Definición. Cofactor Aij de un elemento aij de una matriz de orden nxn:



Los cofactores tienen factor de signoposicional alternante,
tal como se aprecia a la derecha, donde se indica el signo de
(-1 ) i+j para cada posición en un orden 4x4 según i+j sea par o no.
El signo no es absoluto, sino que implica (o no) el cambio
de signo respecto de Mij.

Con estos elementos es posible implementar una definición para determinantes de matrices de orden  2x2

Definición: Sea A  K nxn; n  2; Sudeterminante es la suma de los productos de los elementos de una fila por sus respectivos cofactores.

D(A) = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ......+ ain Ain ( Desarrollo del D(A) por la fila i )

Para n=2 = a11A11 + a12A12 = a11 a22 - a12 a21 (Desarrollo por fila 1)
= a21A21 + a22A22 = - a21 a12 + a22 a11 (Desarrollo por fila 2)= a11A11 + a21A21 = a11 a22 - a12 a21 (Desarrollo por col. 1)
= a12A12 + a22A22 = - a12 a21 + a22 a11 (Desarrollo por col 2)

Los cuatro términos de la derecha son iguales, por lo cual para n=2 se aprecia que el determinante puede desarrollarse por cualquier fila o columna. Aceptaremos esto para cualquier orden...