Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz cuadrada.

Ingeniería ELECTRÓNICA

MATEMÁTICAS IV (C.V.)
6.3.- DETERMINACIÓN DE LOS VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA MATRIZ CUADRADA.

ÍNDICE
DETERMINACIÓN DE LOS VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA MATRIZ CUADRADA. 2
Definición: 2
Cálculo de los valores propios y de los vectores propios 3
Ecuaciones características y polinomios característicos 3
Ejemplo 1. 4
Ejemplo 2. 5Ejemplo 3. 5
FUENTES DE INFORMACION 7

6.3.- DETERMINACIÓN DE LOS VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA MATRIZ CUADRADA.

Los valores y vectores característicos, son valores especiales que se calculan a una matriz en el que interviene lo términos como determinante, polinomio característico y ecuaciones de infinitas soluciones.
Definición: Sea A una matriz de n x n El número real λes un valor propio (también conocidos como los valores característicos, eigenvalores) de A si existe un vector x distinto de cero en Rn tal que
Ax=λx (1)
Todo vector x distinto de cero que satisfaga (1) un vector propio de A, asociado con el valor propio λ. Los valores propios también se llaman valores característicos, autovalores, latente o eigenvalores (del alemán eigen, que significa“propio”).De manera similar, los vectores propios también se llaman característicos, autovalores o eigenvalores.

El significado geométrico de un vector propio correspondiente a un valor propio distinto de cero es el siguiente. El vectorAxes un vector en el mismo sentido o sentido contrario a x, esto de pende del signo de λ. Véase la siguiente figura. De manera que, un vector propio de A es unvector cuyo sentido no varía o se invierte al multiplicarlo por A.*
X
X
Ax
Ax

X
X
0
0

0
0

Ax
Ax

x es un vector propio de A
Ax está en el mismo sentido o sentido contrario a x, si λ≠0

Cálculo de los valores propios y de los vectores propios
Sea A una matriz de n x n con el valor propio λy su correspondiente vector propio x.
Por lo tanto Ax=λx. Esta ecuación sereescribe como Ax-λx=0.
Lo que nos da A-λInx=0
Esta ecuación matricial representa un sistema de ecuaciones lineales en el que la matriz de coeficientes es A-λIn.Una solución de este sistema es x=0. Sin embargo, se definieron los vectores propios como vectores distintos de cero. Este sistema tiene soluciones distintas de cero solo si la matriz de coeficientes es singular, es decir A-λIn=0. Alresolver la ecuación A-λIn=0 para λ, se encuentra los valores propios de A.
Al resolver el determinante A-λIn, se obtiene un polinomio de λ.A este polinomio se le llama Polinomio Característico de A. A la ecuación A-λIn=0 se le llama Ecuacion Caracteristica de A.
Al sustituir los valores propios en la ecuación A-λInx=0, se encuentran los vectores propios correspondientes.
Ecuaciones característicasy polinomios característicos
La ecuación pλ=detA-λI=0 se conoce como la ecuación característica de A: p(λ) se conoce como el polinomio característico de A.
Resulta evidente que p(λ) es un polinomio de grado n en λ. Por ejemplo, sí.
A=abcd, entonces A-λI=abcd-λ00λ=a-λbcd-λ y pλ=detA-λI=a-λd-λ- bc=λ2- a+dλ+ad-bc.
Por el teorema fundamental del cálculo de algebra, todo polinomio de grado n concoeficientes reales o complejos tiene n raices exactamente(contando multiplicidades). Con esto queremos decir que, por ejemplo, el polinomio λ-15tiene cinco raíces todas iguales al número 1. Puesto que todo valor característico de A es una raíz de la ecuación característica de A, concluimos que:
Si se considera multiplicidades, cada matriz de nxn tiene exactamente n valores característicos.Ejemplo 1.
Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz.
A=-4-635
Solución:
Se obtiene primero el polinomio característico de A. Así
A-λI2 =-4-635-λ1001=-4-λ-635-λ

Observe que la matriz A-λI2 se obtiene restando λ a los elementos diagonales de A
El polinomio característico de A es
A-λI2=-4-λ5-λ+18=λ2-λ-2
Ahora resuelva la ecuación característica de A
λ2-λ-2=0...