Determinacion del movimiento de una particula


DETERMINACION DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA
En el tema anterior vimos que el movimiento de una partícula se conoce cuando se sabe su posición para cualquier valor del tiempo t; pero en la práctica, muy raramente se define un movimiento con una relación entre x y t . Con mayor frecuencia, las condiciones del movimiento se especificarán por el tipo de aceleración que posee la partícula. Porejemplo, un cuerpo en caida libre tendrá una aceleración constante hacia abajo e igual a 9.81 m/so 32.2 ft/s; una masa unida a un resorte que ha sido estirado tendrá una aceleración proporcional a la elongación instantánea del resorte, medida desde la possición de equilibrio, etc. En general, la aceleración de la partícula puede expresarse como una función de una o más de las variables x,v y t .Para determinar la coordenada de posición x en función de t, será necesario entonces realizar dos integraciones sucesivas.

Consideremos las siguientes clases comunes de movimiento:

a) a = f(t). La aceleración es una función conocida de t .

Despejando dv de (2) y sustituyendo f(t) en lugar de a , tenemos :

dv = a dt
dv = f(t) dt

Integrando ambos miembros obtenemos la ecuación:



Que define v en función de t . Para definir unívocamente el movimiento de la partícula es necesario especificar las condiciones iniciales del movimiento, es decir, el valor de la velocidad y el valor de la coordenada de posición en t = 0. Sustituyendo las integrales indefinidas por integrales definidas con límites inferiores correspondientes a las condiciones iniciales t = 0 y = 0 ylos límites superiores correspondientes a t = t y v = v , tenemos :



Que nos dá v en función de t

v = f(t)

Ahora:



dx = f(t) dt


Entonces integramos ambos miembros: el izquierdo con respecto a x desde x = hasta x = x, y el de la derecha con respecto a t desde t = 0 hasta t = t . La coordenada de posición se obtiene así en función de t; el movimiento está completamentedeterminado.




x = f(t)


b) a = f(x). La aceleración es una función conocida de x .


Recuerde que:



Entonces:

a dx= v dv

f(x) dx = vdv

v dv = f(x) dx

Como cada miembro contiene una sola variable, podemos integrar la ecuación. Si de nuevo y representan, respectivamente, los valores iniciales de la velocidad y de la coordenada de posición, obtenemos:Que expresa a v en términos de x.

Despejando dt de v = dx/dt, tenemos:



y sustituyendo la expresión que acabamos de obtener para v . Entonces podemos integrar ámbos miembros y obtener la relación deseada entre x y t .


c) a = f(v). La aceleración es una función dada de v.

Es posible sustituir f(v) por a en a = dv/dt y a = v dv/dx para obtener cualquiera delas relaciones siguientes:






La integración de la primera ecuación producirá una relación entre v y t; la integración de la segunda ecuación originara una relación entre v y t.Cualquiera de estas relaciones puede utilizarse junto con la ecuación para obtener la relación entre x y t que caracteriza el movimientode la partícula.

EJEMPLO 1:

La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo t. En t = 0, la velocidad de la partícula es v = 16 in/s. Sabiendo que v = 15 in/s y x = 20 in cuando t = 1 s, determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t = 7 s.

Datos:

a = kt.
En t = 0 , v = 16 in/s .
v = 15 in/s , x = 20 in en t = 1 s

Solución:dv = kt dt





v-16 = (1)

Como la condición es : v = 15 in/s cuando t = 1, entonces sustituimos estos valores en (1) para obtener k.

15 -16 =

k = -2 (2)

Sustituimos (2) en (1) :

v -16 =
v-16 = -t

Ecuación (3) v= f(t)








dx = (-t +16) dt

Como las condiciones son x= 20 in cuando t =...