DeterminacionEigenvaloresEigenvectores

Determinaci´on Num´erica de Eigenvalores y Eigenvectores.
Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica.
Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.
Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista.
CP 36730, Salamanca, Gto., M´exico
Tel. +52-464-6480911, Fax: +52-464-6472400.
E-mail: jrico@salamanca.ugto.mx

1

Introducci´
on

Estas notas tienen como objetivo presentar los conceptosfundamentales de la teor´ıa de Eigenvalores y Eigenvectores, tambi´en conocidos como valores y vectores carater´ısticos o como valores y vectores propios, de una
matriz cuadrada, as´ı como una revisi´on somera de los m´etodos num´ericos empleados para su determinaci´
on.

2

Establecimiento del problema y definiciones.

Considere una matriz A ∈

n×n

dada por
⎡
⎢
⎢
⎢
A=⎢
⎢
⎣

a11
a21
a31
..
.

a12a22
a32
..
.

a13
a23
a33
..
.

...
...
...
..
.

a1n
a2n
a3n
..
.

an1

an2

an3

. . . ann

⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

(1)

Definici´
on: Eigenvalor y Eigenvector. Un vector b ∈ n , tal que b = 0, se dice que es un eigenvector,
vector propio o vector caracter´ıstico, de la matriz A si y s´olo si1
Ab = λb,

donde

λ ∈ C.

(2)

Adem´as, se dice que el escalar λ es el eigenvalor, valor propio o valorcharacteristico de la matriz A
asociado al eigenvector b; de manera rec´ıproca, se dice que b es un eigenvector de A asociado al eigenvalor λ.
Debe notarse que, a´
un cuando la matriz A es real, los eigenvalores asociados a la matriz pueden ser n´
umeros
complejos.
Teorema I. El conjunto de todos los eigenvectores b asociados al eigenvalor λ constituyen un subespacio
vectorial de n , concido como eleigenespacio asociado al eigenvalor λ.
Prueba: Es suficiente mostrar que el conjunto de vectores
E = {b ∈

n

| Ab = λ b}

est´a cerrado respecto a la adici´on de vectores y la multiplicaci´on por escalar.
1 Debe

notarse que la ecuaci´
on (2) requiere necesariamente que la matriz deba ser cuadrada.

1

1. Sean b1 , b2 ∈ E, por lo tanto

Ab1 = λ b1

y

Ab2 = λ b2

Puesto que la multiplicaci´on de matriceses una operaci´on lineal, se tiene que
A b1 + b2 = Ab1 + Ab2 = λb1 + λb2 = λ b1 + b2
por lo tanto, el conjunto est´
a cerrado respecto de la adici´on.
2. Sea b1 ∈ E y μ ∈

, por lo tanto
Ab1 = λ b1 .

Puesto que la multiplicaci´on de matrices es una operaci´on lineal, se tiene que
A μ b1 = μAb1 = μλb1 = λμb1 = λ μb1 .
por lo tanto, el conjunto est´
a cerrado respecto a la multiplicaci´
on porescalar.
Estas dos pruebas parciales verifican que el conjunto de todos los eigenvectores b asociados al eigenvalor λ
constituyen un subespacio vectorial de n
Considere ahora la ecuaci´on (2), que puede reescribirse de la siguiente forma
Ab = λb,

o

Ab = In λb,

o

[A − λIn ] b = 0

(3)

on, b = 0, la u
´ nica posibilidad para que
donde In es la matriz identidad de orden n. Puesto que, pordefinici´
la ecuaci´on (3) se satisfaga es que, la matriz [A − λIn ] sea singular y que b sea un elemento del espacio nulo o
kernel de la matriz. Una condici´on necesaria y suficiente para que la matriz [A − λIn ] sea singular es que su
determinante sea cero; es decir
p(λ) =| A − λIn |= 0.
(4)
Expandiendo el determinante de la ecuaci´on (4), se obtiene una ecuaci´on polinomial real de n-´esimo orden en λ.Esta ecuaci´on se denomina la ecuaci´
on caracter´ıstica de la matriz A. Las raices de la ecuaci´on caracter´ıstica
son los eigenvalores de la matriz y los vectores que satisfacen la ecuaci´on (3) son los eigenvectores asociados a
los eigenvalores respectivos.
Es importante se˜
nalar que si la matriz A es real, la ecuaci´on caracter´ıstica de orden n es real. Del teorema
fundamental del algebra, sesabe que la ecuaci´
on (4) tiene n raices cuando se analiza en el campo de los n´
umeros
complejos, tomando en cuenta la multiplicidad de una raiz; es decir, cuantas veces aparece como repetida una
raiz. Adem´
as, si la ecuaci´on (4) tiene una raiz compleja o imaginaria, el complejo conjugado de esa raiz, tambi´en
es raiz de la ecuaci´on. En otras palabras, las raices complejas o imaginarias...