Determinación De Una Ecuación De Segundo Grado A Partir De La Suma Y Producto De Sus Soluciones

Determinación de una ecuación de segundo grado a partir de la suma y producto de sus soluciones

 Conociendo la suma y el producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado, se puededeterminar la ecuación correspondiente.
 
Sea  S  la suma de las dos raíces o soluciones de la ecuación:

 

 

 
La ecuación de segundo grado se escribe como  ax2 + bx + c =0.  Sustituyendo  b y c por su valor:  ax2 - aSx + aP = 0
 
Dividiendo toda la ecuación entre  a:  x2 - Sx + P = 0
 
Conociendo la suma  S,  y el producto,  P,  de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, laecuación se puede escribir como:
 
                                x2 - Sx + P = 0
 
 
Ejercicio:

1. Determinar la ecuación de segundo grado cuya suma de soluciones vale 5 y cuyo producto vale 6. 
Resolución:
 
S = 5;  P = 6
 
La ecuación es  x2 - Sx + P = 0. Sustituyendo  S  y  P  por sus valores, se obtiene:
 
                                x2 - 5x + 6 = 0

 
Para comprobar quela suma y el producto de las soluciones de la ecuación son 5 y 6 respectivamente, basta con resolver la ecuación.
 

 

 
S = x1 + x2 = 3 + 2 = 5
P = x1 × x2 = 3 × 2 = 6
Luego, efectivamentela ecuación es  x2 - 5x + 6 = 0.

2. Determinar una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones  x1 =  - 2 ; x2 = 3.
 
Resolución:
 
S = x1 + x2 = -2 + 3 = 1
 
   P = x1 × x2 = -2 × 3 =-6
 
Sustituyendo los valores de  S  y  P  en la ecuación  x2 - Sx + P = 0  se obtiene la ecuación  x2 - x - 6 = 0.
 
Para comprobarlo basta con resolver la ecuación y observar que sus raíces son-2 y 3.

 
3. Determinar una ecuación de segundo grado sabiendo que la suma de sus raíces

 
Resolución:
 

 

 
Multiplicando toda la ecuación por el m.c.m de los denominadores, seobtiene la ecuación equivalente  6x2 - 8x + 15 = 0.

 
4. Obtener dos números sabiendo que su suma es 5 y su producto es -14.
 
Resolución:
 
La búsqueda de los dos números puede hacerse...