Determinante

1

Propiedades del determinante de una matriz cuadrada
• El determinante de una matriz coincide con el de su transpuesta. A partir de ahora todas
las propiedades que se refieran a filas, sonv´lidas para columnas.
a
• Si B se obtiene de A multiplicando una fila por λ, entonces det(B) = λ det(A). En general
det(λA) = λn det(A), siendo n el orden de la matriz A.
• Si la matriz B se obtieneintercambiando dos filas de A, entonces det(B) = − det(A).
• Si una matriz tiene dos filas iguales, entonces su determinante es nulo.
• El determinante de una matriz que tenga una de sus filas como suma dedescomponer como suma de dos determinantes del modo siguiente:





a11
a11 · · · a1n
a11
···
a1n
 ···
 ··· ··· ··· 


···
···
···





det  ai1 + bi1 · · ·ain + bin  = det  ai1 · · · ain  + det  bi1





 ···
 ··· ··· ··· 


···
···
···
an1
an1 · · · ann
an1
···
ann

dos se puede
···
···
···
···
···

a1n
···
bin···
ann




.



No hay que confundir esta propiedad con la siguiente igualdad, que es falsa en general:
det(A + B) = det(A) + det(B).
• Si una matriz tiene una fila de ceros, entoncessu determinante es nulo.
• Si B se obtiene de A sum´ndole o rest´ndole una fila de A un m´ltiplo de otra fila, entonces
a
a
u
det(A) = det(B).
• Si A es una matriz triangular entonces eldeterminante de A es el producto de los t´rminos
e
de su diagonal principal. En particular el determinante de I es 1.
• det(AB) = det(A) det(B).

2

Inversa de una matriz cuadrada

Motivaci´n: Pararesolver ax = b, donde a, x, b ∈ IR y a = 0, despejamos x = a−1 b, siendo a−1
o
un n´mero tal que a−1 a = 1.
u
Ya que el producto de matrices no es conmutativo, hay que tener cuidado con ladefinici´n.
o
Decimos que una matriz A es invertible si existe otra matriz B tal que AB = BA = I. Observamos
que de la definici´n se deduce que s´lo las matrices cuadradas pueden ser invertibles (pero...