determinante

Determinante de una matriz[editar]
Artículo principal: Determinante (matemática)
Se llama determinante de una matriz cuadrada de orden n, cuyos términos pertenecen al cuerpo K, al escalar que se obtiene al sumar todos los diferentes productos de n elementos, que se pueden formar con los elementos de la matriz, de modo que en cada producto figuren elementos de todas las filas y todas lascolumnas de la matriz, a cada producto se le asigna el signo: (+), si la permutación de los subíndices de filas de sus elementos es de la misma clase que la permutación de los subíndices de las columnas y el signo: (–) si las permutaciones son de distinta clase.


DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
   El determinante de una matriz A(n,n), es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productosposibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como |A|. El valor numérico es conocido también como modulo de la matriz.
        (Nota: En matrices de segundo y tercer orden suele ser utilizado el método conocido como regla de Sarrus.)
Métodos de cálculo[editar]

Artículos principales: Teorema de Laplace y Regla de Sarrus.
Para el cálculo de determinantes dematrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posiblecalcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.
Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.
La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:

donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ delconjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σi. El conjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).
En cualquiera de los  sumandos, el término

denota el producto de las entradas en la posición (i, σi), donde i va desde 1 hasta n:

La fórmula deLeibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en casos muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas.


El método de Sarrus es una utilidad para calcular determinantes de orden 3.
Los términos con signo + estánformados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3. Recibe su nombredel matemático francés Pierre Frédéric Sarrus..

Considérese la matriz 3×3:

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:
En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonalesascendentes (en trazos). Esto resulta en:


Un proceso similar basado en diagonales también funciona con matrices 2×2:

Esta regla mnemotécnica es un caso especial de la fórmula de Leibniz y ha sido conocido que no puede aplicar para matrices mayores a 3×3. Sin embargo, en octubre del año 2000, el matemático Gustavo Villalobos Hernández de la Universidad de Guadalajara, en México, encontró un...