DETERMINANTES DE ORDEN

UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABÍ




FACULTAD DE INGENIERÍA
TEMA:

“DETERMINANTES DE 2DO Y 3ER ORDEN”
“PROPIEDADES DE LAS DETERMINANTES”

AUTORE:
ALBA MARIANA MOREIRA PINARGOTE

FECHA:
11 DE JUNIO DEL 2015
PROFESORA:

LCD. YENNY ALEXANDRA ZAMBRANO VILLEGAS

CHONE - ECUADOR






Determinante (matemática)
En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de uncuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
Historia de los determinantes
Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partirdel siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu. iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación de Gauss-Jordan.

DETERMINANTES DE ORDEN  2
Sea  A  una matrizcuadrada de orden 2,

Se llama  determinante  de  A  al  número real:

Es decir, el determinante de una matriz cuadrada de orden  2  es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

 DETERMINANTES DE ORDEN  3
Sea
entonces
det A
observe el signo menos antes del segundo término del lado derecho
Los productos con signo  " + ",están formados por los elementos de la diagonal  principal, y los de las dos diagonales paralelas (por encima y por debajo), con su correspondiente vértice opuesto.

Los productos con signo  " - ", se forman con los elementos de la diagonal secundaria y los de las dos diagonales paralelas, con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo
Sea A




PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. 
Losdeterminantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos que  A  es una matriz cuadrada.
 
Propiedad 1.
 
 
Si una matriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.
 
 
 
Ejemplo 1.
 
            Sea  
 
Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene
 
                      
 
Propiedad2.
 
 
El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A.
 
 
 Esto es
                                                 
 
Ejemplo 2.
 
                      Sea       
 
La transpuesta de A  es          
 
 
Propiedad 3.
 
 
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entonces el determinante cambia de signo.
 
 
Ejemplo 3.
 Sea            con      
 
Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda
 
           con     
 
Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.
 
Propiedad 4.
 
 
Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas) iguales  entonces   det A = 0.           
 
 
 
Ejemplo 4.
 
Sea           entonces  
 
 
Propiedad 5.
 
 
Cuando un solo renglón (o columna) de unamatriz  A  se multiplica por un escalar  r  el determinante de  la matriz  resultante es  r  veces el determinante de  A,   r det A.
 
 
 
Ejemplo 5.
 
Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  
 
Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente
 
                                                
 
cuyo determinante, desarrollado por cofactoresde la primera columna de B es     
 
       
 
Propiedad 6.
 
 
Si un renglón de la matriz  A  se multiplica por un escalar  r   y se suma a otro renglón  de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual  al determinante de A,  det A.   Lo mismo se cumple para las columnas de A.
 
 
 
Ejemplo 6.
 
Sea       cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  
 
Multiplicando...