Determinantes de segundo y tercer orden

CAPÍTULO I: MATRICES 1.− DEFINICIÓN Y CLASES • Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Si hay m filas y n columnas, la matriz aparecerá así:

• El elemento está situado en la fila i y en la columna j. • El número de filas y columnas recibe el nombre de dimensión de la matriz. • Si m=n se dice que la matriz es cuadrada de orden n. • El número total de elementos de lamatriz es . • Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar coinciden en su valor. Según la forma de la matriz, esta puede ser: • Matriz fila: tiene una sola fila. • Matriz columna: tiene una sola columna. • Matriz cuadrada: tiene el mismo nº de filas que de columnas. • Matriz rectangular: no es cuadrada. • Matriz traspuesta: dada una matrizA, se llama traspuesta de A, y se designa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas. • Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica si sus elementos cumplen que (los elementos de la diagonal principal pueden tomar cualquier valor). • Matriz antisimétrica: se llama así a toda matriz cuadrada que cumple que ( los elementos de la diagonal principal son todos nulos).Atendiendo a los elementos, una matriz puede ser: • Matriz nula: todos sus elementos son cero. • Matriz diagonal: es una matriz cuadrada que tiene los elementos que no pertenecen a la diagonal principal iguales a cero. • Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. • Matriz unidad: matriz escalar con todos los elementos de la diagonalprincipal iguales a uno. 1

• Matriz triangular: matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal son cero. 2.− OPERACIONES CON MATRICES. 2.1.− SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES. • Para sumar dos matrices, estas deben tener la misma dimensión. Cada elemento de la primera matriz se suma con su homólogo en la segunda . • La diferencia de matrices se defina comola suma de la primera con la opuesta de la segunda. 2.2.− PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ. • Para multiplicar una matriz por un número real, se multiplica dicho número por todos y cada uno de los elementos de la matriz. 3.− PRODUCTO DE MATRICES. 3.1.− PRODUCTO DE UNA FILA POR UNA COLUMNA.

3.2.− PRODUCTO DE DOS MATRICES. • Dos matrices son multiplicables si el número de columnas de laprimera es igual al número de filas de la segunda. La matriz producto tendrá tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda matriz. Se multiplicarán las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda. • El producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa. • Dos matrices A y B son inversas si los productos A"B y B"A son iguales a la matriz unidad. • Una matriz A esregular si posee matriz inversa. A la matriz inversa de A se la designa por A−1 Ejercicios: • Dadas las matrices A y B, hallar 3 A+2 B, siendo

• Calcular el siguiente producto de matrices:

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• Realizar el mismo ejercicio con las siguientes matrices:

• Calcular las matrices A y B que son solución del siguiente sistema matricial:

CAPÍTULO II: DETERMINANTES 1.− DETERMINANTES DE SEGUNDOORDEN. Dada la matriz cuadrada de orden dos , se llama determinante de A al número real

2.− DETERMINANTES DE TERCER ORDEN. Dada una matriz cuadrada de orden tres, su determinante se calculará mediante la regla de Sarrus.

3.− PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. •

• Si multiplicamos una fila o una columna de una matriz cuadrada por un número real, el determinante queda multiplicado por dichonúmero. • El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes. • Si permutamos dos filas (dos columnas) entre sí, el determinante cambia de signo. 3

• Si una matriz tiene una fila (una columna) formada por ceros, su determinante es nulo. • Si una matriz tiene dos filas (dos columnas) iguales, su determinante es cero. • Si una matriz tiene dos filas (dos...