Determinantes Y Regla De Cramer

Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´atica

Coordinaci´
on de MAT022
Determinantes y Regla de Cramer
1. Calcular el determinante de las siguientes matrices mediantecofactores:




1 2 −2 −1
1
1 −3 −1
 2 0 0
 4 −1 0
1 
2 


a) 
b) 
c)
 −2 0 1
 −2 2 −1 1 
1 
1 1 1 −1
1
1
1 −1



4
 1
−1

2
4
−3


−2
5 
1

Rpta: a) 19, b) 76, c)62
2. Utilizandooperaciones elementales y propiedades de los determinantes calcular:

a)

1
2
−2
1
2

2
0
0
1
−3

−2
0
1
1
1

−1 1
1 2
1 0
−1 0
6 3

b)

−2
1
0
0
0

1
4
−1
0
0

−3
0
−1
1
2

1
−1
2
3
0

−1
2
1
−1
1

c)

4−1
0

−1
2
3

0
−1
1

Rpta: a) 40, b)-159, c)19
3. Si A es de 3 × 3 y det(A) = 2 calcular det(−2A), det(A4 ), det(A−1 ), det AT A2
4. ¿Es verdad que det(AB) = det(BA) recuerde que puede pasar AB = BA?¿Ydet(A + B) = det(A) + det(B)?
5. Si la suma de los elementos de cada columna de A es 0, demuestre que det(A) = 0. Si la suma de los elementos
de cada columna es 1 demuestre que det(A − I) = 0.¿Implica esto que |A| = 1?.
n−1

6. Demuestre que |adj(A)| = |A|

7. Demuestre que si A es antisim´etrica de orden impar entonces |A| = 0.
8. Sea P una matriz invertible. Demuestre que las matrices A y B = P−1 AP siempre tienen el mismo determinante.
9. Sea A una matriz de orden n, tal que A−1 = 2At , calcule det(A).
10. Sean A, B matrices de orden n tales que A = P −1 BP , con P una matriz fija.Muestre que A − λI y B − λI
tienen el mismo determinante.
11. Encuentre los valores de λ tal que A − λI2 no tiene inversa, donde
A=

Rpta: λ =

3
1

1
2

√
5± 5
2
−1

12. Sea A de n × n invertible. ¨ı¿ 12Se cumple adj A−1 =adj(A)

? Fundamentar.

13. Usando determinantes, encontrar los valores de k ∈ R tal que

3 −1 −k
 k 0
0

A=
5 0
0
0 k −1

la siguiente matriz sea invertible

2k
−k 

−k 
0MAT022 Primer Semestre 2014

1

Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´atica

14. Use operaciones elementales filas para demostrar que
1
1
1

a2
b2
c2

a
b
c

= (b −...