Determinantes

Determinantes
Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

A=

Determinante de orden uno |a11| = a11 |5| = 5 Determinante de orden dos = a 11 a 22 - a 12 a 21

Ejemplo:

Determinante de orden tres Consideremos una matriz 3 x 3 A = (aij). El determinante de A se calcula como sigue: = = a11 a22 a33 +a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 - a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32. Ejemplo:

= 3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 = = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = = 44 + 4 + 15 = 63 Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres consigno negativo (cambian su signo).

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Regla de Sarrus
Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para calcular determinantes de orden 3. Regla de Sarrus Los términos con signo + están formados por los productos de los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo -están formados por los productos de los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo

Menor complementario y adjunto
Menor complementario de un elemento de un determinante Se llama menor complementario de un elemento aij de una matriz de orden n, al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matrizla fila i y la columna j. Se designa por Mij

Adjunto de un elemento de un determinante Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo: El signo es + si i+j es par.

EstoyEl signo es - si i+j es impar. Se designa generalmente por ?????? o por Aij

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El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntoscorrespondientes:

Ejemplo

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Propiedades de los determinantes
1.|At|= |A| El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2. |A|=0

Si:

Posee dos filas (o columnas) iguales

Todos los elementos de una fila (o columna) son nulos.

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Los elementos de una fila (o columna) son combinación lineal del resto de filas (ocolumnas).

F3 = F1 + F2

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas) su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Sise multiplica una fila (o columna) de un determinante por un número real, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.
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Cálculo dedeterminantes
Determinante de orden uno |a 11| = a 11 |-2| = -2

Determinante de orden dos = a 11 a 22 - a 12 a 21

Determinante de orden tres Se aplica la regla de Sarrus:

Cálculo de un determinante de cualquier orden Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1. Seguiremos lossiguientes pasos: 1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

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2. En caso negativo: 1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y realizaremos transformaciones para que uno de...