Determinantes

INTRODUCCION:

Primero definiremos que es un determinante, es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz.

Si A es una matriz deorden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por  (las barras no significan valor absoluto);es un número que se obtiene a partir de los elementos de una matriz, suestudio se justifica en cuanto que justifica la resolución de sistemas lineales

En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica unaserie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos.

Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducidopara estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) quereduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiplesdeterminantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.
Además deesta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.

La fórmula de Leibniz para el determinante deuna matriz cuadrada A de orden n es:


donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σi. Elconjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar .
En cualquiera de los n! sumandos, el término

denota...