Determinantes

3
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DETERMINANTES

REFLEXIONA Y RESUELVE Determinantes de orden 2
■

Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes: ° 2x + 3y = 29 a) ¢ £ 3x – y = 5 ° 4x + y = 17 c) ¢ £ 5x + 2y = 19 ° 18x + 24y = 6 e) ¢ £ 15x + 20y = 5 2x + 3y = 29 ° ¢ 3x – y = 5 £ 5x – 3y = 8 ° ¢ –10x + 6y = –16 £ 4x + y = 17 ° ¢ 5x + 2y = 19 £ 9x – 6y = 7 ° ¢ –6x +4y = 11 £ 18x + 24y = 6 ° ¢ 15x + 20y = 5 £ 3x + 11y = 128 ° ¢ 8x – 7y = 46 £ 3 |2 –1 | = –11 ? 0 3 5 |–10 –3| = 0 6 ° 5x – 3y = 8 b) ¢ £ –10x + 6y = –16 ° 9x – 6y = 7 d) ¢ £ – 6x + 4y = 11 ° 3x + 11y = 128 f) ¢ £ 8x – 7y = 46

a)

Solución: x = 4, y = 7

b)

Solución: x =

8 3 + l, y = l 5 5

c)

|4 1 | = 3 ? 0 5 2
9 |–6 –6| = 0 4

Solución: x = 5, y = –3

d)

Incompatiblee)

| 18 24 | = 0 15 20 |3 11 | = –109 ? 0 8 –7

Solución: x =

1 4 – l, y = l 3 3 1 402 886 , y= 109 109

f)

Solución: x =

Unidad 3. Determinantes

1

Determinantes de orden 3
■

Queremos calcular todos los posibles productos (de tres factores) en los que intervengan un elemento de cada fila y uno de cada columna de esta matriz:

( )
6 9 3 2 5 8 4 7 1 a) Averigua cuántosproductos hay y calcúlalos. b) Hazlo de nuevo para una matriz 3 Ò 3 cualquiera.

(
a) Hay 6 productos: 6 · 5 · 1 = 30 2 · 7 · 3 = 42 9 · 8 · 4 = 288 b) a11 a22 a33 a13 a21 a32 a12 a23 a31

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

)

3 · 5 · 4 = 60 7 · 8 · 6 = 336 2 · 9 · 1 = 18 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33

Determinantes de orden 4
■

En una matriz 4 Ò 4, ¿cuántos productos de 4factores hay en los que intervengan un elemento de cada fila y uno de cada columna?

(
Hay 4! = 24 productos.
■

a11 a21 a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14 a24 a34 a44

)
Unidad 3. Determinantes

Determinantes de orden n
¿Sabrías decir, en general, en una matriz cuadrada n Ò n, cuántos productos de n factores, uno de cada fila y uno de cada columna, pueden darse? Hayn! productos.

2

UNIDAD

3

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1. Calcula el valor de los siguientes determinantes y di por qué son cero algunos de ellos:

|13 6| 4 2 7 –2 d) | 7 –2 |
a) a)

6 |13 –2 | 4 3 11 e) | 21 77| b)

1 |11 0| 0 –140 7 f) | 60 –3 | c)

| 13 6| = 2 4 2
6 | 13 –2 | = –50 4 1 | 11 0 | = 0, porque tiene una columna de ceros. 0

b)

c)

d)

| 7 –2 | = 0, porque tiene sus dosfilas iguales. 7 –2
3 | 21 11 | = 0, porque sus filas son proporcionales: (1. ) · 7 = (2. ) 77
a a

e)

f)

7 | –140 –3 | = 0, porque sus dos columnas son proporcionales: (2. ) · (–20) = (1. ) 60
a a

2. Calcula el valor de los siguientes determinantes teniendo en cuenta estos datos: l m | A | = –13 A= n p

( )

a)

p | nl m|

b) | 6A |

c)

| nl 4m| 4p

d) | A –1|

a)p l | n m | = – | n m | = –(–13) = 13 l p l 6l | 6n 6m | = 6 · 6 | n m | = 36 · (–13) = –468 p 6p

b) | 6A | =

c)

l l | n 4m | = 4 | n m | = 4 · (–13) = –52 p 4p 1 1 1 = =– |A| –13 13

d) | A · A –1 | = | A | · | A –1| = 1 8 | A –1| =

Unidad 3. Determinantes

3

Página 81
1. Calcula los siguientes determinantes: 5 1 a) 0 3 9 6

5 1 4 a) 0 3 6 = –114 9 6 8 2. Halla el valorde estos determinantes: 0 4 –1 a) 1 2 1 3 0 1

| | | | | |

4 6 8

|

9 0 3 b) –1 1 0 0 2 1 9 0 –1 1 b) 0 2

|

| |

| |

3 0 =3 1

|

10 47 59 b) 0 10 91 0 0 10

|

|

0 4 –1 a) 1 2 1 = 14 3 0 1

|

10 47 59 b) 0 10 91 = 1 000 0 0 10

|

|

Página 83
3. Justifica, sin desarrollar, estas igualdades: 3 –1 7 a) 0 0 0 = 0 1 11 4 7 4 1 c) 2 9 7 = 0 27 94 71 a) Tieneuna fila de ceros (propiedad 2). b) La 3.a fila es proporcional a la 1.a: (3.a = (–2) · 1.a) (propiedad 6) c) La 3.a fila es combinación lineal de las dos primeras: (3.a = 1.a + 10 · 2.a) (propiedad 9) d) La 1.a fila es combinación lineal de las otras dos: (1.a = 10 · 2.a + 3.a) (propiedad 9)

|

4 1 7 1 =0 b) 2 9 – 8 –2 –14 45 11 10 d) 4 1 1 = 0 5 1 0

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| |

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|

4

Unidad...