determinantes

25 – Matem´ticas I : Preliminares
a

Tema 3

Determinante de una matriz
3.1

Determinante de una matriz cuadrada

Definici´n 67.- Sea A una matriz cuadrada de orden n . Llamaremos producto elemental en A al producto
o
ordenado de un elemento de cada fila, cada uno de los cuales pertenece a columnas distintas. Es decir, una
expresi´n de la forma a1j1 a2j2 · · · anjn con todos los jkdistintos.
o
Llamaremos producto elemental con signo al valor (−1)N a1j1 a2j2 · · · anjn donde el n´mero N , para
u
cada producto elemental, es el n´mero de “inversiones del orden” en el conjunto de las columnas {j1 , j2 , . . . , jn } ,
u
es decir, el n´mero de veces que cada ´
u
ındice jk es menor que los anteriores a ´l.
e
Ejemplo 68 {2, 4, 1, 3} . Para calcular las inversiones tenemosque ver cuantas veces 4, 1 y 3 son menores
que sus anteriores. Para el 4 , hay inversi´n cuando 4 < 2, no. Para el 1, cuando 1 < 2, si ; y cuando 1 < 4, si.
o
Y para el 3 , cuando 3 < 2 , no; 3 < 4, si ; y 3 < 1 , no. El conjunto presenta entonces tres inversiones, N = 3 .
Definici´n 69.- Definimos la funci´n determinante en el conjunto de las matrices de orden n , como la funci´n
o
o
o
queasigna a cada matriz A el n´mero real, que denotaremos por det(A) ´ det A ´ |A| , y cuyo valor es la
u
o
o
suma de todos los productos elementales con signo que se pueden formar en A :
det(A) = |A| =

(−1)N a1j1 a2j2 · · · anjn .
(j1 ,j2 ,...,jn )

Expresi´n del determinante de las matrices de orden 1, 2 y 3. Los determinantes de las matrices de
o
los primeros ´rdenes de magnitud seobtienen de la forma: a11 = a11 y
o
a11 a12
= a11 a22 − a12 a21
a21 a22
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32
a31 a32 a33
Estas expresiones admiten una regla nemot´cnica gr´fica para recordar la construcci´n de los productos elee
a
o
mentales y el signo, siguiendo las direcciones de las diagonales principal y secundaria(para matrices de orden
3 se conoce como Regla de Sarrus ):
sign( ) = +
sign( ) = −

s
s
d 
d
 
 
s ds

s
d

s
s
d
d
d
s
s
d ds
d
d
d
d
s ds d s

s

s

 
 

 
 

s

s  s
  
 
 
 
s
s
 
s
s
 

Observaci´n:
o
0 a12 0 0
Cada uno de los productos elementales con signo se co0 0 0 a24
rresponde con el determinante de una matriz que se
(−1)3 a12a24 a31 a43 =
a31 0 0 0
forma haciendo cero todos los elementos que no estan
0 0 a43 0
en el producto. Es claro, pues cualquier otro producto
tendr´ alguno de sus factores distinto de estos y, en consecuencia, ser´ 0. De manera similar son inmediatos
a
a
los dos resultados recogidos en la proposici´n siguiente.
o

Prof: Jos´ Antonio Abia Vian
e

I.T.I. en Electricidad

26 –Matem´ticas I : Preliminares
a

3.1 Determinante de una matriz cuadrada

Proposici´n 70.o
1.- Si A es una matriz que tiene una fila o una columna de ceros, entonces |A| = 0.
2.- Si A es una matriz triangular superior o triangular inferior, |A| es el producto de los elementos de la
diagonal principal, es decir, |A| = a11 a22 · · · ann . (En todos los dem´s productos elementales aparece al
a
menosun 0: si hay alg´n elemento por encima de la diagonal, hay alguno por debajo.)
u

3.1.1

Determinantes y operaciones elementales

Teorema 71.- Sea An×n una matriz. Se tiene que:
a) si A es la matriz que resulta de multiplicar una fila de A por una constante λ = 0, entonces det(A ) =
λ det(A).
b) si A es la matriz que resulta de intercambiar dos filas de A , entonces det(A ) = − det(A).
c)si A es la matriz que resulta de sumar a la fila k un m´ltiplo de la fila i , entonces det(A ) = det(A).
u

Corolario 72.- Una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.
Corolario 73.a) Si E es la matriz elemental resulta de multiplicar una fila de I por k ∈ IR , entonces det(E ) = k .
b) Si E es la matriz elemental que resulta de intercambiar dos filas de I , entonces det(E ) = −1....