Determinantes

ÁREAS, VOLUMEN Y ECUACIONES DE LINEAS Y PLANOS

Los determinantes tienen muchas aplicaciones en geometría analítica.

ÁREA DE UN TRIANGULO EN EL PLANO x-y.
El área de un triángulo cuyosvértices son x1,y1, x2,y2 y (x3,y3) está dada por:

Área=±12detx1y11x2y21x3y31

Donde el signo ± es elegido para generar un área positiva.

ANÁLISIS DE PUNTOS COLINEALES EN EL PLANO x-y.
Tres puntosx1,y1, x2,y2 y (x3,y3) son colineales si y sólo si:

detx1y11x2y21x3y31=0

FORMA DE DOS PUNTOS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA.
La ecuación de la recta que pasa por los puntos distintos x1,y1, x2,y2está dada por:

detxy1x1y11x2y21=0

VOLUMEN DE UN TETRAEDRO.
El volumen de un tetraedro cuyos vértices son: x1,y1,z1, x2,y2,z2, x3,y3,z3 y x4,y4.z4 está dada por:Volumen=±16detx1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z41

Donde el signo ± se elige para tener un volumen positivo.

ANÁLISIS DE PUNTOS COPLANARES EN EL ESPACIO.
Cuatro puntos x1,y1,z1, x2,y2,z2, x3,y3,z3 y x4,y4.z4 son coplanares si ysólo si:

detx1y1z11x2y2z21x3y3z31x4y4z41=0

FORMA DE TRES PUNTOS DE LA ECUACIÓN DE UN PLANO.
Una ecuación de un plano que pasa por tres puntos x1,y1,z1, x2,y2,z2 y x3,y3,z3 está dada por:detxyz1x1y1z11x2y2z21x3y3z31=0

EJERCICIOS.
1. Encuentre el área del triangulo que tiene los vértices dados.
a) 0,0, 2,0, 0,3
b) -1,2,2,2,-2,4
c) 1,1, 2,4, 4,2
d) 1,1,-1,1,(0,-2)2. Determine si los puntos son colineales.
a) 1,2,3,4,5,6
b) -2,5,0,-1, 3,-9
c) -1,-3, -4,7, 2,-13
d) -1,0,1,1, (3,3)
3. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntosdados.
a) (0,0), (3,4)
b) -2,3, -2,-4
c) -4,7, 2,4
d) 1,4, (3,4)
4. Encuentre el volumen del tetraedro que tiene los vértices dados.
a) 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1, 1,1,1
b)1,1,1, 0,0,0, 2,1,-1, -1,1,2
c) 3,-1,1, 4,-4,4, 1,1,1, 0,0,1
d) 0,0,0, 0,2,0, 3,0,0, 1,1,4
5. Determine si los puntos son coplanares.
a) -4,1,0, 0,1,2, 4,3,-1, 0,0,1
b) 1,2,3,...