Determinantes

Álgebra Lineal

EAP IC UNC

2010 -II

1.

Determinantes.

Se denomina determinante de orden n al n´mero D formado por los n2 n´meros aij (los elemenu u tos), situados en una tabla cuadrada de n l´ ıneas y n columnas en la siguiente forma:

a11 D = |aij | = a21 ···

a12 a22 ···

· · · a1n · · · a2n ··· ··· = (−1)k a1α a2β · · · anω ,

an1 an2 · · · ann donde α, β, · · ·, ωrecorren todas las n permutaciones posibles de los n´meros 1, 2, · · · , n; el signo u ((+)) o ((−)) delante de cada t´rmino del determinante (es decir delante de cada sumando) se e determina por el n´mero k de inversiones (des´rdenes) de cada permutaci´n. Por ejemplo, el u o o t´rmino a13 a21 a34 a42 del determinante de cuarto orden tiene el signo ((menos)), ya que la dise posici´n 3,1,4,2, de lossegundos sub´ o ındices de las letras tiene tres inversiones: (3,1), (4,2) y (3,2). Se llama menor del elemento aij al determinante de (n-1)-´simo orden formado del determinante e dado, por eliminaci´n de la fila i-´sima y de la columna j-´sima. Se llama complemento algebraico o e e Aij del elemento aij al menor tomado con signo ((m´s)) o ((menos)) seg´n la f´rmula: a u o a11 ··· Aij = (−1)i+j ··· ···a1j | ··· ··· a1n ··· =

−ai1 − −− −aij − −− −ain − ··· an1 ··· ··· a1,j−1 ··· | anj ··· ··· ··· ann ··· ··· a1n ···

a11 ··· = (−1)i+j

··· ···

a1,j+1 ···

ai−1,1 · · · ai−1,j−1 ai−1,j+1 · · · ai−1,n ai+1,1 · · · ai+1,j−1 ai+1,j+1 · · · ai+1,n ··· an1 ··· ··· ··· an,j−1 ··· an,j+1 ··· ··· ··· ann

EAP IC - UNC

ÁLGEBRA LINEAL

2010-II

1

2.

Propiedades de losdeterminantes.

1) El valor de un determinante no var´ si se cambian sus filas por sus columnas y viceversa ıa (por esto, todas las propiedades consideradas m´s adelante y que se refieren a las filas, son a aplicables tambi´n a las columnas). e 2) Un determinante es nulo, si los elementos de dos de sus filas son iguales o proporcionales o si una de las filas es combinaci´n lineal de cualquiera de las filasrestantes. o 3) Un factor com´n a todos los elementos de cualquier fila se puede sacar como factor del u determinante. 4) Al sumar entre s´ los determinantes que se diferencian s´lo por los elementos de una fila ı o (i-´sima) cualquiera, resulta un determinante cuyos elementos de la i-´sima fila son la suma e e de los elementos correspondientes de las i-´simas filas de los determinantes sumandos y los eelementos restantes son los mismos que los de los sumandos. 5) El valor de un determinante no var´ al sumar (o restar) a cualquier fila los elementos de ıa otra fila o la combinaci´n lineal de otras filas. o 6) Un determinante se puede descomponer por los elementos de una fila (i-´sima) cualquiera e de acuerdo a la f´rmula D = ai1 Ai1 +ai2 Ai2 +· · ·+ain Ain , en que Aij son los complementos oalgebraicos de los elementos correspondientes. 7) La suma de los productos de todos los elementos aik de una fila (i-´sima) cualquiera de e un determinante por los complementos algebraicos Ajk de los elementos correspondientes a otra fila (j-´sima) es igual a cero: e ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + · · · + ain Ajn = 0 (i = j)

3.

C´lculo de determinantes. a
De segundo orden, seg´n la f´rmula: u o a11 a12 a21 a22 =a11 a22 − a12 a21

De tercer orden, seg´n la ((regla de Sarrus)) (se agregan las dos primeras columnas): u

EAP IC - UNC

ÁLGEBRA LINEAL

2010-II

2

a11 ց a21

a12 ց a22 ց

a13 ց a23 ց a33

a11

a12 a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − −a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33

a21 ց a31

a22 =

a31

a32

a32

De n-´simo orden, seg´n la propiedad 6, se reduceal (n-1)-´simo; previamente se transe u e forma el determinante, empleando las propiedades restantes para anular el mayor n´mero u posible de elementos.

Ejemplo 1

2 D=

9

9

4 8 −5 4 8 =

2

5

9

4 8 −5 4 =3

2

5

3

4 8 =

2 −3 12 4 1 8 2 3 6

2 −7 12 4 1 0 0 4 3 6

2 −7 4 4 1 0 0

1 −5 2 4

=3

      

2 4

2 3

−5 4 1 −5 1 2 4 1 1

−...