Determinantes

DETERMINANTES
A cada matriz n-cuadrada A = (aij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o

Una tabla ordenada n ð n de escalares situadaentre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz.
La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es unaherramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.
DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS
Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

= a11

Así, el determinante de unamatriz 1 ð 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11.
Ejemplos:
a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3x+5)= 3x+5.
b)

DETERMINANTES DE ORDEN TRES
Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria A = (aij ). El determinante de A se define como sigue:

a12a21a33 - a32a23a11
Obsérvese que hay seis productos,cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).
Para calcular los determinantesde orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

Ejemplo:
Calcular el valor del determinante:

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63
El determinante de la matriz 3ð 3 A = (aij ) puede reescribirse como:
det (A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) =

que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyoscoeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Estacombinación lineal puedeindicarse de la forma siguiente:

Nótese que cada matriz 2 ð 2 se obtiene suprimiendo enla matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.
Ejemplo:
Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 =...