determinantes


DETERMINANTES

Sea A = (aij) una matriz cuadrada de orden n sobre un cuerpo K, se dice que el DETERMINANTE de la Matriz An, es de orden n y frecuentemente se representa por
Diagonal Principal

Un Determinante de orden arbitrario n, es un escalar asociado a una matriz cuadrada de orden n; es el valor de la matriz de orden n.

Definición:
Sea M el conjunto de las matrices cuadradas deorden n y D:M → R una función, de manera que a cada matriz A є M le corresponda un escalar D(A) є R, entonces la función D se denomina DETERMINANTE de A, y se representa como D(A) = Det(A) = |A|

DETERMINANTES DE ORDEN 2

Si entonces

Ejemplo:
Si Entonces

Ejemplo:
Si

Ejemplo:
Si

Ejemplo: Determinar el valor de k, tal que D(A) = 0


Ejemplo: Determinar el valor de t,tal que D(A) = 0


DETERMINANTES DE ORDEN 3
Si entonces



Método de Sarrus
Aumentar las dos primeras filas o las dos primeras columnas y multiplicar los elementos de las diagonales: La diagonal principal y sus paralelas se suman. La diagonal secundaria y sus paralelas se restan



Ejemplo: Si


Ejemplo: Si


Ejemplo: Determinar el valor de t, tal que D(A) = 0 SiendoOtro método de resolución: (Basado en la regla de Sarrus)





Ejemplo: Si



EJERCICIOS:

1) Calcular el determinante de A:
a) b) c)
d) e) f)

2) Determinar el valor de t, tal que D(A) = 0

a) b)
c) d) e)




Propiedades:

Todo lo que se afirme de filas es aplicable también a columnas.

i) Si A є Mnxn entonces D(A) = D(At)Ejemplo:
Si
El determinante de la matriz A es igual al determinante de su matriz transpuesta

ii) Siendo A1, A2, An filas de A
Ejemplo:
Si

Si se multiplica una línea (fila o columna) de una matriz A por un escalar α entonces el valor del determinante queda multiplicado por ese valor α.

iii)
Ejemplo:
Si


iv) Siendo A1, A2, An columnas de A
Ejemplo:
SiAl intercambiar una fila (o columna) por otra el determinante cambia de signo

v)
Ejemplo: Si
El determinante de la matriz unidad o identidad siempre es igual a 1

vi)
Ejemplo:
Si
Si todos los elementos de una fila (o columna) de A son ceros, entonces el determinante es cero

vii)
Ejemplo:
Si
Si dos filas (o columnas) de A son iguales,entonces el determinante es cero

viii)
Ejemplo:
Si
Si una fila (o columna) de A es múltiplo de otra, entonces el determinante es cero

ix)
Ejemplo:
Si

Si en una matriz A, a una de sus líneas le sumamos una línea múltiplo de otra el determinante de la matriz resultante no varía.
x) Si A es una matriz triangular, entonces
Ejemplo:
Si
El determinantede una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal.

xi) Si A es una matriz de orden n, se verifica que |α A| = αn|A|

EJEMPLOS:

Aplicando las propiedades de los determinantes calcular los siguientes determinantes:
1)


2)



3) Si Calcular



EJERCICIOS:
Aplicando las propiedades de los determinantes demostrar las siguientesidentidades:
1) 3)
2) 4) calcular

DETERMINANTES DE ORDEN n

Definición:
Sea A = (aij) una matriz cuadrada de orden n, se llama MENOR COMPLEMENTARIO (o simplemente menor) del elemento aij, al determinante D(Aij) de la matriz de orden n – 1 que se obtiene al suprimir en A los elementos de la fila i y la columna j.
Ejemplo: Si
El menor del elemento
El menor del elemento
Elmenor del elemento

Definición:
Sea D(Aij) el menor del elemento aij, este menor afectado por su signo (-1)i+j recibe el nombre de ADJUNTO O COFACTOR del elemento aij y se representa por αij
Es decir:
Ejemplo: Si



El factor (-1)i+j asocia signos “ + ” y “ – ” al Determinante D(Aij) de acuerdo con el siguiente esquema:

Definición:
Se dice que dos determinantes son...