determinantes

DETERMINANTES
Los determinantes obtenemos de las matrices mediante simples operaciones aritméticas.
Recuerda que llamamos dimensión de una matriz al número de filas y columnas que tiene (m x n) y si la matriz es cuadrada tendrá el mismo número de filas que de columnas y la representamos por (n x n)
Si n vale 1 hablamos de matrices orden 1, si n vale dos serán matrices de orden 2, si n vale 3serán de orden 3, etc.
Lo mismo cabe decir para los determinantes.
¿Cómo se escriben los determinantes?
Casi igual que las matrices, en lugar de utilizar grandes paréntesis como:

Los elementos en los determinantes se colocan entre dos rayas verticales y el nombre también:

También podemos escribir:

¿Cómo escribimos un determinante de orden 1?
Dado que solo tiene una fila y una columnano es más que un número:


¿Cómo escribimos un determinante de orden 2?
Como tiene dos filas y dos columnas escribiremos:


¿Cómo calculamos el valor de un determinante de orden 2?
Es una simple resta de números: producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria:




CURSO GRATIS DE MATRICES Y DETERMINANTES
¿Cómocalculamos el valor de un determinante de orden 3?
Un modo sería aplicando la regla de Sarrus (matemático francés del siglo 19) que consiste en multiplicar los elementos en el orden que se señalan en la figura siguiente y que después vamos a resolver por este método:


Multiplicamos los elementos de las diagonales principales y vamos sumando los productos obtenidos:



Hallamos la diferencia de lasdos cantidades obtenidas y será el valor del determinante:




Pasemos a la práctica:


Creo que calcular de este modo el valor de un determinante de tercer orden se puede olvidar al cabo de unos días.
Posiblemente, hacerlo del siguiente modo:
1) Escribes el determinante sea más fácil tanto de operar como recordar:

Escribes a continuación, detrás de la 3ª columna, las dosprimeras:Ahora realizas las sumas de los productos de los elementos de la diagonal principal que son las líneas trazadas de izquierda a derecha.
Haces lo mismo con las diagonales que van de derecha a izquierda como lo representado en la figura siguiente:


Verás que coincide con lo dicho anteriormente:





Respuesta: det (B) = 9
Solución
Escribimos primeramente la suma de los productos de lasdiagonales principales y en segundo lugar vamos restando el producto de las diagonales secundarias:



Otro sencillo modo de calcular los determinantes de orden 3:
1) Escribes el determinante del modo siguiente:


2) Escribes a la derecha el resultado de las dos diagonales comenzando siempre por la principal:


3) Ahora anula la primera línea y escríbela como la tercera línea:


Yvuelve a hallar los valores (sin tener en cuenta a la fila anulada) de las diagonales colocando los resultados a continuación de los obtenidos en el paso 2):


4) Haz lo mismo con la 2ª fila, anúlala y pásala como tercera fila y calculamos nuevamente los valores de ambas diagonales:


5) Por fin, llegamos a la fila 3ª y última y si volviéramos a hacer lo que estamos realizando, es decir,anularla y pasarla debajo estaríamos con el mismo determinante propuesto al principio:


Esto quiere decir que en el paso 4) terminamos. Nos queda hallar el total de las sumas parciales: 6 + 27 – 12  –  8  – 6 + 2 = 9
CURSO GRATIS DE MATRICES Y DETERMINANTES
Ejercicio #38  
Haciendo uso del modo que acabamos de explicar: ¿Cuánto vale


Respuesta: det(C) = 14
Ejercicio #39    
Haciendo usodel modo más sencillo para ti ¿Cuánto vale

Respuesta: det (D) = – 48 


¿Cómo calculamos el valor de un determinante de orden superior a 3?
Esto se complica un poco, basta que te fijes que para pasar de orden 2 a orden 3 nos ha exigido realizar mayor número de operaciones.
 
Para reducir, por lo menos, el número de operaciones cuando tratamos de determinantes de un orden superior a 3,...