determinantes

 Álgebra Lineal
TEMA 8
Propiedades y uso de los Determinantes

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Determinantes
A diferencia de las matrices, cuya principal característica es ser un arreglo, en éste la característica es la de ser un operador1 y por tanto, tiene un valor.
Los determinantes fueron usados y definidos antes de que surgiera el concepto de matriz y de hecho la palabra matriz se refiere a ellos: se lastomó como “La matriz de los determinantes”
Los determinantes siempre deben ser cuadrados
En el caso de los determinantes sí TIENEN QUE SER CUADRADOS. su tamaño se indica como (n x n) siendo n  2 Pueden ser de 2x2, 3x3, ... nxn

a11 a12
Determinantes de 2x2: se expresan así: = a11 a22 – a12 a21
a21a22


Se resuelven en el orden que indican las flechas + –

Determinantes de n > 2
Los determinantes de n>3 sólo se resuelven partiendo del concepto de descomposición en sus determinantes ... “menores”
a11 a12 ... ... a1n
Si tenemos undeterminante de nxn que se generaliza así: a21 a22... ⋮
Debemos tener en cuenta: ⋮ ⋮
an1 ... ... an n

Hay un signo que depende solamente de la posición. Este signo, para una posición que llamaremos i, j tiene como signo de la posición (-1) ( i+j ) signo que se antepone al del elemento aij.
Tal como vimos en los determinantes de 3x3)se define un menor de una posición Mij
como el determinante que resulta de eliminar el renglón y la fila respectiva a dicha posición.

De tal manera que, si nos vamos por el renglón i tenemos
|A| = (-1) ( i+1) ai1|M i1| + (-1) ( i+2) ai2|M i2| + … + (-1) ( i+j) aij|M ij+… + (-1) ( i+n) ai1|M in
que es la representación teórica de la solución de un determinante de (n x n)Determinantes de 3x3 Se representan así y se resuelven por dos métodos:





1° Colocándole dos columnas mas (o dos filas más) y siguiendo el orden + –
Sentido positivo Sentido negativo





Ej.: se hace(-2)(-3)(3)+(3)(4)(-2)+(1)(1)(5) – (1)(-3)(-2) – (-2)(4)(5) – (3)(1)(3)
18 + (-24) + 5 – 6 – (–40) – 9
–1 +25
= +24
Ojo: Estesistema es de uso limitado. Sólo se utiliza para resolver determinantes de (3x3)




2° Descomponiéndolo en determinantes menores así:

– 2 3 1
Ej.: det 1 –3 4 se hace así:
–2 5 3

1. Se escoge una columna ( o un renglón) que va ser el eje de los menores: En el Ej. tomemos la primera columna
2. Se coloca un símboloprevio al del número de acuerdo a su posición: + – + – + ...
– + – + ...
+ – ...
⋮
3. Se va tomando cada elemento de la columna escogida y se multiplica por el determinante menor correspondiente (para tomar el determinante menor respectivo se eliminan los elementos restantes de sus vectores asociados, sombreados en el primer Menor del ejemplo)– 2 3 1 –3 4 3 1 3 1
1 –3 4  +(-2) –(1) +(-2) (–2)(–9–20)–(9–5)+(-2)(12+3)
–2 5 3 5 3 5 3 –3 4 (–2)(-29)–(4)–(2)(15)
 58 – 4 – 30
 24
Ojo: Este...