determinantes

Jaime Bravo Febres

Neblinka

MATRICES Y DETERMINANTES
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El
desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m
ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices seutilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad
para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en
geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencialdn los lenguajes
de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas
organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...

1. MATRICES
Una matriz A de orden m x n es un arreglo rectangular de números o funciones, de la
forma:
⎡ a11 a12
⎢
⎢ a 21 a 22
⎢ M
M
A=⎢
⎢ a i1 a i2
⎢ M
M
⎢
⎢a m1 a m2
⎣

L a1i
L a 2i
L M
L a ijL M
L a mj

L a1n ⎤
⎥
L a 2n ⎥
L
M ⎥
⎥ = (a ij )mxn
L a in ⎥
L
M ⎥
⎥
L a mn ⎥
⎦

Observaciones:
El número a ij , representa el elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz
A.
Ejemplo: Sean las matrices
⎡1 3 − 1⎤
⎡2 − 1 7 ⎤
⎢
⎥
A=⎢
⎥ ; B = ⎢3 1 4 ⎥
3 0 5⎦
⎣
⎢5 6 − 3⎥
⎣
⎦
A es una matriz de orden 2 x 3
B es una matriz de orden 3 x 3
En la matriz Atenemos: a11 = 2

a12 = −1 a13 = 7; a21 = 3 ; a22 = 0; a23 = 5

ALGUNAS CLASES DE MATRICES
1) Atendiendo a la forma
a)

Si A es una matriz de orden 1 x n se llama matriz fila

A = [a11

a12

L a1n ], es una matriz de orden 1 x n

Jaime Bravo Febres

Neblinka

B = [5 3 1] , es una matriz de orden 1 x 3
b) Si A es una matriz de orden m x 1 se llama matriz columna
⎡ a11 ⎤
⎢
⎥a
A = ⎢ 21 ⎥
⎢ M ⎥
⎢
⎥
⎣a m1 ⎦ es una matriz de orden m x 1

c)

Si A es una matriz de n x n, con n filas y n columnas se llama matriz cuadrada.
En una matriz cuadrada la diagonal principal es la línea formada por los
elementos: a11 , a 22 , .... a nn
Ejemplo

⎡5 1 − 1⎤
B = ⎢2 2 2 ⎥ , los elementos de la diagonal principal son 5, 2, 3.
⎢
⎥
⎢3 0 3 ⎥
⎣
⎦

d) Una matriz A, sellama traspuesta de A, y se representa por A t , a la matriz que
se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera
t

t

columna de A , la segunda fila de A es la segunda columna de A , y así
sucesivamente.
t

De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces A es de orden
n x m.
Ejemplo

⎡1 4 7 ⎤
⎡1 2 3 ⎤
⎢ 4 5 6⎥ ⇒ B t = ⎢ 2 5 8 ⎥
B=⎢
⎥⎢
⎥
⎢3 6 9 ⎥
⎢7 8 9 ⎥
⎦
⎣
⎦
⎣
e)

Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A , es decir, si a ij = a ji ∀ i , j
t

Ejemplo

3⎤
3⎤
⎡2 1
⎡2 1
⎢1 0 − 2 ⎥ ⇒ A t = ⎢1 0 − 2 ⎥ ⇒ A = A t
A=⎢
⎥
⎢
⎥
⎢3 − 2
⎢3 − 2
5⎥
5⎥
⎦
⎣
⎦
⎣
Observación: En una matriz simétrica, los elementos son simétricos respecto a la
diagonal principal.

f)

Una matriz cuadrada es antisimétrica siA = − A , es decir, si a ij = –a ji
Ejemplo
t

∀ i, j

⎡0 1 3⎤
⎡0 − 1 − 3⎤
⎡0 1 3⎤
⎥ ⇒ (−1) B t = ⎢ − 1 0 − 2⎥ = B
⎢ − 1 0 − 2 ⎥ ⇒ B t = ⎢1 0
B=⎢
2⎥
⎥
⎢
⎢
⎥
⎢− 3 2 0 ⎥
⎢3 − 2 0 ⎥
⎢− 3 2 0 ⎥
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
Observación

Jaime Bravo Febres

Neblinka

En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son siempre
nulos (por qué?), y los restantes sonopuestos respecto a dicha diagonal.

g) Una Matriz se llama Ortogonal si se verifica que: A ⋅ A t = I
Ejemplo

⎡a1
⎢b
⎢ 1
⎢ c1
⎣

a2
b2
c2

a3 ⎤
b3 ⎥ ;
⎥
c3 ⎥
⎦

B

⎡ a1
⎢a
⎢ 2
⎢ a3
⎣

b1
b2
b2

c1 ⎤
⎡a1
⎥ ⇒ ⎢b
c2 ⎥
⎢ 1
⎢ c1
c3 ⎥
⎦
⎣

a2
b2
c2

Bt

a3 ⎤ ⎡ a1
b3 ⎥ ⋅ ⎢a 2
⎥ ⎢
c3 ⎥ ⎢ a3
⎦ ⎣
B ⋅ Bt

b1
b2
b2

c1 ⎤ ⎡1 0 0⎤
c 2 ⎥ = ⎢0 1 0 ⎥...