Determinantes

Determinante
A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).
|A| = 
Determinante de orden uno
|a11| = a11
Ejemplo 
|5| = 5
Determinante de orden dos
 = a 11 a 22 − a 12 a 21
Ejemplo 

Determinante de orden tres
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:
 =
=a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 −
− a13 a22 a31 − a12 a21 a 33 − a11 a23 a32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Ejemplo 
 =
3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −
− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) ·1 =
= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =
= 44 + 4 + 15 = 63
Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para calcular determinantes de orden 3.
Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.



Los términos con signo − están formados por loselementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo 

Menor complementario
Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n − 1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.
  
Adjunto
Se llama adjunto del elemento aij a su menor complementario anteponiendo:
El signo es +   si  i + j  es par.
El signo es −    si  i + j  es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una fila (o una columna) por sus adjuntos correspondientes:

  

Ejemplo
   
= 3(8+5) − 2(0−10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63
Observemos que este método es especialmente útil si lo usamos apoyandonos en una fila (o columna) que tenga uno o más ceros,siendo más sencillo cuantos más ceros tenga.
En nuestro ejemplo, facilitaría los cálculos hallar el determinante apoyándonos en la primera columna:


Determinante de orden uno
  |a11| = a11
Ejemplo 
  |−2| = −2
Determinante de orden dos
 = a 11 a 22 − a 12 a 21
Ejemplo 

Determinante de orden tres
Se aplica la regla de Sarrus:

Ejemplo 

Cálculo de un determinante de cualquier ordenConsiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó −1.
Seguiremos los siguientes pasos:
 1  Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible deelementos nulos).

 2  En caso negativo seguiremos alguno de los siguientes pasos:
 1.  Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó un −1 (operando con alguna línea paralela).

 2.   Dividiendo la línea fila (o la columna) por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar eldeterminante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir, sacamos factor común en una fila (o una columna) de uno de sus elementos.

 3  Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

 4  Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad aloriginal.
 = 2(−58)= − 116
1  |At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.


 2  |A| = 0    Si:
Posee dos filas (o columnas) iguales.

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2


 3  Un determinante triangular es igual al producto de los...