Determinantes

Concepto de determinante
A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).
A = 
Regla de Sarrus
Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de ladiagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo

Determinante de orden uno
  |a11| = a11
  |5| = 5
Determinante de orden dos
   = a 11 a 22 - a 12 a 21
 
  
Determinante de orden tres
Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:
=
a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32-
- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.
=
3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -
- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =
= 44 + 4 + 15 = 63
Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambiansu signo).
Ejemplo (otra manera de sacar determinante)

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63
Cálculo del rango de una matriz por determinantes

1. Podemos descartar una línea si:.
Todos sus coeficientes son ceros.
Hay dos líneas iguales.
Una línea es proporcional a otra.
Una línea es combinación lineal de otras.
Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal delas dos primeras: c3 = c1 + c2

2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.
|2|=2≠0
3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinanteno sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2.
5. Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4.
Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmenteindependientes.
Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).
Cálculo por el método de Gauss
Podemos descartar una línea si:
* Todos sus coeficientesson ceros.
* Hay dos líneas iguales.
* Una línea es proporcional a otra.
* Una línea es combinación lineal de otras.

F3 = 2F1
F4 es nula
F5 = 2F2 + F1
r(A) = 2.
En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.

F2 = F2 - 3F1
F3= F3 - 2F1

Por tanto r(A) = 3.
RESUMEN

Definición de determinante
Acada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A , denotado por |A| o por det (A).
Determinante de orden uno
|a 11| = a 11
Determinante de orden dos
= a 11 a 22 - a 12 a 21

Determinante de orden tres
=
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 -
- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.
Regla de Sarrus
Los términos con signo + están formadospor los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Menor complementario
Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que...