determinantes

DETERMINANTES
DEFINICION DE DETERMINANTE

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A esuna matriz cuadrada de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos det(A), o también lo podemos escribir como “|A|” (las barras no significan valor absoluto)

Cálculo dedeterminantes:
Determinante de orden 1:
Det(a11): a11

Determinante de orden 2:
det = a11 x a22 – a12 x a21

Determinante de orden 3 (resuelta por Sarrus):
Debajo de la matriz se procede acopiar los 2 primeros renglones para luego resolver multiplicando cruzado de la misma forma que en la matriz de orden 2, tal como vemos aquí:

det =


Cálculo dedeterminantes por cofactores:
Como el esquema de Sarrus no se puede usar para determinantes de orden mayor a 3, se debe desarrollar los determinantes por cofactores.
Para comenzar vamos a definiral menor i,j (Mi,j) de una matriz A, como la matriz que se obtiene a partir de A, eliminando el renglón i y la columna j.
Cofactor i,j = Ci,j = (-1)i+j Mi,j
Entonces, utilizando eldesarrollo por cofactores, el determinante de una matriz A3x3 puede escribirse como:

det(A)= det


De ésta forma, el determinante de la matriz 3x3 anterior se puede ir escribiendo entérmino de 2x2.
De esa misma forma pueden desarrollarse los determinantes de matrices de orden n en términos de matrices de menor orden desarrollando por cofactores respecto al:
-i-ésimorenglón:
El determinante de A puede desarrollarse con respecto al i-ésimo renglón en términos de cofactores de la siguiente forma:
det(A) = ai1 x Ci1 + ai2 x Ci2 + … + ain x Cin

-j-ésimacolumna:
El determinante de A puede desarrollarse con respecto a la j-ésima columna en términos de cofactores de la siguiente forma:
det(A) = a1j x C1j + a2j x C2j + … + anj x Cnj