determinantes

Cap´ıtulo 6

MATRICES Y DETERMINANTES
6.1.

Introducci´
on

Las matrices y los determinantes son herramientas del a´lgebra que facilitan el ordenamiento de
datos, as´ı como su manejo.
Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados b´asicamente en el siglo XIX
por matem´aticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irland´es William Hamilton.
Lasmatrices se encuentran en aquellos ´ambitos en los que se trabaja con datos regularmente
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Econ´
omicas y Biol´ogicas.

6.2.

Matrices. Definici´
on y primeros ejemplos

Una matriz es una tabla rectangular de

a11 a12 a13
 a21 a22 a23

A= .
..
..
 ..
.
.
am1 am2 am3

n´
umeros reales dispuestos en filas ycolumnas del modo:
 
. . . a1n ←


. . . a2n 
←
..  ← Filas de la matriz A
..
.
.  


. . . amn ←

Columnas de la matriz A

Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos sub´ındices. El
primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.
As´ı el elemento a23 est´a en la fila 2 ycolumna 3. Las matrices siempre se representar´an con letras
may´
usculas.
Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:


3
1
0
√
 2 −4 0 
2 1
6 −4 0
√ 
C =
A=
B=
−1 1
2
1
2 1
3 4
5
1
0
0
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tama˜
no es 2 x 2.¿Qu´e elemento es a21 ?.
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜
no es 2 x 3.¿Qu´e elemento esb23?.
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜
no es 4 x 3.¿Qu´e elemento es c42 ?.
En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tama˜
no o dimensi´
on es m
x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nö de filas y en segundo lugar el de columnas.

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CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES

6.3.

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Tipos de matrices

1. Se llama matriz nulaa la que tiene todos los elementos cero.
Por ejemplo,
A=

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

es una matriz nula de tama˜
no 2x5.
2. Se llama matriz fila a la que s´olo tiene una fila, es decir su dimensi´
on es 1x n.
Por ejemplo,
1 0 −4 9
es una matriz fila de tama˜
no 1 x 4.
3. Se llama matriz columna a la que s´
olo consta de una columna, es decir su dimensi´
on ser´
amx
1, como por ejemplo:

1
0 
C= √
− 8
es una matriz columna de tama˜
no 3 x 1.
4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo n´
umero de filas que de columnas, es decir su
no 2 x 2 o
dimensi´
on es n x n. La matriz ( 23 14 ) del primer ejemplo anterior es cuadrada de tama˜
simplemente de orden 2.
Otro ejemplo de matriz cuadrada es:




1
2 3
D= 6
5 4
−3 −4 0

de orden 3.
Dentro de lasmatrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos
a11 , a22 , a33, . . . , ann , siendo la matriz:


a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n 


A= .
..
..
.. 
..
 ..
.
.
.
. 
an1 an2 an3 . . .

ann

En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estar´ıa formada por 1, 5, 0.
Se llama traza de la matriz a la suma de loselementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11 +
a22 + a33 + . . . + ann , y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.
La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n , a2,n−1, a3,n−2, . . . , an1 .
En la matriz D estar´ıa formada por 3, 5, -3.
Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.
Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajode la diagonal principal son
nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
Son ejemplos de estas matrices:




1 0
0
0
1 4 13
0 −4 0

0 
F = 0 9 −5
E=
3 4
5
0 
0 0 π
1 3 16 −78
Triangular superior
Triangular inferior

CAP´ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES

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Si una matriz es a la vez triangular...