Determinantes

Apéndice A Determinantes
A.1. Definición de determinante

Definición A.1 La única función f : Mn (R) −→ R que verifica: a) f (APij (t)) = f (A) b) f (AQi (s)) = sf (A) c) f (Pij (t)A) = f (A) d) f (Qi (s)A) = sf (A) e) f (Pij A) = f (APij ) = −f (A) y tal que f (In ) = 1, se llama determinante. Si A ∈ Mn (R), su determinante se escribe det(A) o |A|.

No es tarea nuestra probar que la funcióndefinida en la Observación A.2 Definición A.1 existe y que es única. Lo asumiremos como tal. En las propiedades b) y d) se incluye la posibilidad de que s = 0 (se llama Qj (0) a la matriz que resulta de multiplicar la columna j-ésima de In por 0). Por lo tanto, si una matriz tiene una fila o una columna nula su determinante es cero. De esto se deduce que si una matriz posee una fila o una columnarepetida, su determinante también será nulo: restando las filas o las columnas repetidas no cambiamos el determinante y obtenemos una fila o una columa nula. De la propia definición de determinante y de la definición de las matrices elementales se deduce que det(Pij (t)) = 1, det(Qi (s)) = s y det(Pij ) = −1. 99

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APÉNDICE A. DETERMINANTES Para calcular el determinante de una matriz, podemos aplicarel hecho de que operaciones elementales de tipo 2 no lo alteran, mientras que si una fila o una columna se multiplica por una constante, el determinante queda multiplicado por la citada constante. También que intercambiar dos filas o dos columnas, cambia el signo del determinante. La Propiedad e) de la Definición A.1 es, de hecho, redundante (se deduce de las anteriores).

Ejemplo A.3 Veamos cómoson los determinantes para los casos n = 2 y n = 3 a b , su determinante viene dado por det(A) = |A| = ad − bc. c d   a11 a12 a13 Si A =  a21 a22 a23 , su determinante viene dado por a31 a32 a33 Si A = det(A) = |A| = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a23 a12 − (a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a21 a12 ).

A.2.

Propiedades del determinante

A partir de la definición de determinante, se puedenprobar algunas propiedades del mismo: Teorema A.4 Sea A y B matrices de Mn (R). Entonces, se tiene: a) A es regular si, y sólo si, det(A) = 0 b) det(A) = det(At ) c) det(AB) = det(A)det(B).
n

d) Si la matriz A es triangular, det(A) =
i=1

aii .

e) Si A es regular, det(A−1 ) = det(A)−1 . Demostración.– a) Si A no es regular, mediante operaciones elementales podemos llegar a una matrizcuya última fila es nula y cuyo determinante es, por lo tanto, nulo. Como las operaciones elementales pueden cambiar el determinante, pero no si es nulo o no, se deduce que det(A) = 0. Hemos probado, pues que si det(A) = 0, la matriz es regular. Supongamos, ahora, que A es regular. Entonces, mediante operaciones elementales en las filas, llegamos a la matriz identidad cuyo determinate es no nulo. Enconsecuencia, det(A) = 0.

A.3. CÁLCULO DE DETERMINANTES

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b) La propiedad es cierta si A no es regular, pues tampoco lo sería At y det(A) = det(At ) = 0. Si A es regular, es producto de matrices elementales. Dado que las matrices de tipo 1 y 3 son las únicas que influyen en el valor de det(A) y, dado que éstas son simétricas, se concluye que det(A) = det(At ). c) Si A o B no es regular,la fórmula es obvia. Supongamos, ahora, que A y B son regulares. Entonces, las dos son producto de matrices elementales A = P1 · · · Ps y B = Q1 · · · Qt . Hagamos notar, en primer lugar, que si R1 , R2 , · · · , Rm son matrices elementales, entonces det(R1 · R2 · · · Rm ) = det(R1 ) · det(R2 ) · · · det(Rm ) (esto se deduce del hecho de que: det(Pij ) = −1, det(Qi (s)) = s y det(Pij ) = −1). Porlo tanto, det(AB) = det(P1 · · · Ps Q1 · · · Qt ) = det(P1 ) · · · det(Ps )det(Q1 ) · · · det(Qt ) = det(P1 · · · Ps )·det(Q1 · · · Qt ) = det(A)· det(B) d) Si A no es regular, alguno de los elementos de la diagonal debe ser nulo. Como el determinante de A es cero, la fórmula es correcta en este caso. Si A es regular, todos los elementos de la diagonal principal son no nulos, por lo que,...