DETERMINANTES

3

Determinantes

1. Determinantes de orden 2 y 3 por Sarrus
■ Piensa y calcula
Dada la proporción

3 6
= , calcula el producto de extremos menos el producto de medios.
4 8

Solución:
3 · 8 – 6 · 4 = 24 – 24 = 0

● Aplica la teoría
1. Calcula mentalmente los siguientes determinantes:

| |

1
a) |A| =
2

0
0

|

2 –3 5
b) |B| = 4 7 –1
2 –3 5

|

4. Halla losdeterminantes de las siguientes matrices:

( )
4
–2

a) A =

7
9

b) B =

( )
2 5
8 –9

Solución:
Solución:
a) |A| = 0 porque tiene una columna de ceros.
b) |B| = 0 porque tiene dos filas iguales, la 1ª y la 3ª

2. Calcula mentalmente los siguientes determinantes:

| |

1
a) |A| =
2

3
6

|

3 –2 1
b) |B| = 4 7 –9
7 5 –8

|

Solución:
a) |A| = 0 porque tienedos filas proporcionales; la 2ª es
el doble de la 1ª
b) |B| = 0 porque tiene una fila que es combinación lineal de las otras dos; la 3ª es la suma de la 1ª y de la 2ª

3. Halla los determinantes que se puedan calcular de las

a) |A| =

| –24 79 | = 50

b) |B| =

| 28 –95 | = – 58

5. Halla los determinantes de las siguientes matrices:
a) A =

(

3 –2
4 1
–9 7

5
6
8

)( )

1
b) B = 4
7

2
5
8

3
6
9

Solución:
a) |A| =

|
|

3 –2
4 1
–9 7

1
b) |B| = 4
7

2
5
8

|

5
6 = 255
8

|

3
6 =0
9

( )
3 –4
5 6

a) A =

b) B =

(

1 –2
5 –6

3
8

6. Halla los determinantes de las siguientes matrices:
a) A =

Solución:

|

)

|

3 –4
a) |A| =
= 38
5 6

(

–2
4
–3

5 –1
6 9
8 7

)

()

8 –3 1
b) B = 5 4 –9
2 7 6

b) No se puede calcular porque no es cuadrada.

114

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

siguientes matrices:

Solución:
a) |A| =

|
|

Solución:

|

–2
4
–3

|
|

5 –1
6 9 = – 265
8 7

5
a) |A| = 0
0

|

8 –3 1
b) |B| = 5 4 –9 = 867
2 7 6

( )
0
5
0

8. Siendo Et = (1 2 3) la traspuesta de la matriz E,calcula el determinante de la matriz Et · E

( )

0
0
5

0
0 = 125
5

5 –4 5
b) |B| = 0 2 –6 = 70
0 0 7

7. Halla los determinantes de las siguientes matrices:
5
a) A = 0
0

|
|

0
5
0

5 –4 5
b) B = 0 2 –6
0 0 7

Solución:

()

1
Et = E = (1, 2, 3) 2 = (14)
3
|Et · E| = |14| = 14

2. Propiedades de los determinantes
■ Piensa y calcula
Dada la matriz

()
5
3

6
, halla su determinante y el de su traspuesta. ¿Cómo son?
4

Solución:
|A| =

| |

At =

( )

5
3

|At| =

5
6

6
=2
4

3
4

| |
5
6

3
=2
4

Ambos determinantes son iguales.

● Aplica la teoría

|

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

2
9. Sean |A| = 0
–8

|

|

3 –5
2
1 9 = – 374 y |B| = –8
7 4
0

3 –5
7 4
1 9

|

Hallamentalmente |B|. ¿Qué propiedad has utilizado?
Solución:
|B| = 374
Porque el determinante |B| se obtiene del |A| cambiando
la 2ª y 3ª filas.

TEMA 3. DETERMINANTES

10. Halla el valor de los siguientes determinantes y comprueba que son iguales.
La 3ª fila del 2º se ha obtenido sustituyéndola por la
suma de las tres del 1º
|A| =

Solución:
|A| = 245

|

| |

3 –1 2
3 –1 2
4 5 –6 ,|B| = 4 5 –6
–2 4 7
5 8 3

|

|B| = 245

115

11. Comprueba la identidad |A| = |At| siendo:

|

2 –4 8
|A| = 0 6 – 7
5 2 –9
Solución:
|A| = – 180

se multiplican por (–1), ¿qué relación hay entre los determinantes de la matriz original y de la nueva matriz?

|

Solución:
Si todos los elementos de una matriz de orden 3 Ò 3 se
multiplican por (–1), su determinante quedamultiplicado
por (–1)3 = –1
La propiedad que se ha utilizado dice que para multiplicar un determinante por un número se multiplica el número por cada elemento de una línea. Como se multiplican las tres líneas, se eleva al cubo.

|At| = – 180

12. Sabiendo que:

|

a
d
g

b
e
h

|

c
f =2
i

calcula el siguiente determinante y enuncia las propiedades que utilices:

|

a...