Determinantes

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 4×4 O MÁS
PREGUNTA 1
Calcular los determinantes siguientes:

1
a)

0

−1

2

3

1

−4

5

0
3

3
10

1 −2

2 −3
4 −5

3

−1

1

2

−2 −2
3

2

b) 1

1
2
1
1
1 −4 −3 −2 −5
3 −2

2

2

−2

c)

0
0
3

0 0 −1
0 −1 0
−1 0 0

3
0
0

0
3
0

0
0

0 −1
−1 0

3
0

0
3

0
0

−10

0

0

3

0

RESOLUCIÓN
Para resolver el determinante de una matriz cuadrada de orden 4×4 o más es
recomendable aplicar el método de “Reducción del orden” o también llamado método
del pivote. Expondremos el método en los casos a) y b).

1 0 −1 2
3 1 −4 5
a) A =
2 −3 0
3
4 − 5 3 10
1ro. Escogemos una fila o columna cualquiera.
De preferencia aquella que tenga algún 1 comoelemento. Mejor aún si conteniendo el
1 también tiene elementos iguales a cero.
Escogemos la fila 1
2do. Escogemos el pivote de la fila o columna considerada.
Siempre es recomendable escoger como pivote al 1. Ciertamente se puede escoger
cualquier número como pivote, sin embargo las operaciones se facilitan si escogemos
al 1.
Escogemos el elemento a11 = 1 como pivote.
3ro. Apoyándonosdel pivote hacemos operaciones con filas o columnas con la
intención de buscar ceros en la fila o columna escogida.
Tener en cuenta: “Si busco ceros en una fila, DEBO hacer operaciones con columnas;
y si busco ceros en una columna, DEBO hacer operaciones con filas”
Buscamos ceros en la fila 1, para ello realizaremos las siguientes operaciones:
c3 + c1, c4 – 2c1.
Recuerde que al haceroperaciones con filas o columnas, por ejemplo c4 – 2c1, esto
significa tres cosas:
i)
A la columna 4 le vamos a restar el doble de la columna 1.
ii)
El resultado de dicha operación va a ir en la columna 4.
iii)
La columna 1 no cambia.

luchohurtado@yahoo.com

Operando:

1 0 − 1 + 1 2 − 2(1)
10
0
0
3 1 − 4 + 3 5 − 2(3)
3 1 −1 −1
A=
=
2 − 3 0 + 2 3 − 2(2)
2 − 3 2 −1
4 − 5 3 + 4 10 −2(4)
4 −5 7
2

4to. Una vez logrados los ceros en la fila o columna escogida, aplicamos la siguiente
regla (regla 1):
A = (PIVOTE)×(COFACTOR DEL PIVOTE)
Recuerde que el cofactor de un elemento aij se calcula multiplicando el factor (-1)i+j por
el determinante menor. El determinante menor es aquel que resulta al eliminar la fila
y columna correspondiente al elemento que se analiza.
Entanto la suma de “i+j” solo puede tomar valores pares o impares, el factor (-1)i+j
resultará igual a 1 o -1.
Si “i+j” es par el factor será 1, si “i+j” es impar el factor será -1.
Esto hace ver que el cofactor resultará igual al determinante menor, si la posición del
elemento es tal que “i+j” es par. Y el cofactor resultará igual al determinante menor
con signo cambiado, si la posición delelemento es tal que “i+j” es impar.
En nuestro caso, el pivote 1 está en la posición a11, con lo cual i+j = 1+1 = 2 es par.
Luego el cofactor del pivote será igual a su determinante menor.

1
Luego, aplicando la regla 1 podemos escribir:

1
Es decir:

A = (1)× − 3
−5

−1 −1
2
7

−1
2

−1 −1

A = −3
−5

2
7

− 1 , el mismo que siendo de orden 3×3 se puede resolver
2aplicando la Regla de Sarrus (teoría básica).
Aplicando obtenemos:

A = 11

b) Para resolver este caso, aplicaremos el método descrito en a) para bajar – primero al orden 4×4. Una vez logrado esto, aplicaremos el mismo procedimiento para bajar al
orden 3×3. Llegado a este orden aplicaremos la regla de Sarrus.

1 −2 3 −2 −2
2 −1 1
3
2
A=1 1
2
1
1
1 −4 −3 −2 −5
3 −2 2
2 −2
1ro.Escogemos una fila o columna cualquiera.
Escogemos la fila 3
2do. Escogemos el pivote de la fila o columna considerada.
Escogemos el elemento a35 = 1 como pivote.

luchohurtado@yahoo.com

3ro. Apoyándonos del pivote hacemos operaciones con filas o columnas con la
intención de buscar ceros en la fila o columna escogida.
Buscamos ceros en la fila 3, para ello realizaremos las siguientes...