Determinantes
Páginas: 6 (1440 palabras)
Publicado: 30 de noviembre de 2012
Tema 4: Matrices y Determinantes
Algunas Notas sobre Matrices y Determinantes
´
Algebra Lineal
Curso 2004-2005
Prof. Manu Vega
´
Indice
1. Determinantes
3
2. Regla de Sarrus
3
3. Propiedades de los determinantes
3
4. Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila (columna)
5
5. Rango de una matriz
5
5.1. Teorema del rango . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
5.1.1. Caracterizaci´n del rango mediante determinantes . . . . . . . . . .
o
6
5.1.2. Transformaciones que conservan el rango de una matriz . . . . . . .
6
6. Matrices invertibles
6
6.1. Definiciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6.2. Definici´n de matriz inversa . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
o
6
1
6.3. Propiedades de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7. Matrices Ortogonales
8
8. Matrices equivalentes
8
8.1. Propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Matrices semejantes
8
8
9.1. Propiedades de las matrices semejantes . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
10.Matrices congruentes
9
9
10.1. Propiedades de las matrices congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
9
1.
Determinantes
Empezaremos estudiando una regla pr´ctica para el c´lculo de determinantes de orden
a
a
3 × 3 y pasaremos a la resoluci´n de determinantes de ´rdenes superiores. Posteriormente,
o
o
estudiaremos el rango y la inversi´n dematrices, transformaciones elementales para el
o
c´lculo del rango y de la matriz inversa, y, por ltimo, el concepto de matrices equivalentes.
a
2.
Regla de Sarrus
Un determinante es el valor num´rico de una matriz cuadrada. Para calcular el valor
e
de un determinante de orden 3 × 3. La forma nemot´cnica de esta regla es la siguiente:
e
productos positivos (diagonales hacia la derecha)- productos negativos (diagonales hacia
la izquierda)
a11 a12 a13
a21 a22 a23
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 −
a31 a32 a33
− a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .
3.
Propiedades de los determinantes
1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales
|A| = At .
2. Si todos los elementos de una fila (columna) contienen un factor com´n,´ste puede
ue
3
sacarse fuera del determinante
a11
a12
...
a 1n
a11 a12 ... a1n
a21
a22
...
a 2n
a21 a22 ... a2n
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ai1
ai2 ... ain
=λ·
λai1 λai2 ... λain
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
...
an1
an2
...
ann
.
an1 an2 ... ann
3. Si se intercambian dos filas o dos columnas de un determinante, ´ste cambia de
e
signo.
4. Si un determinante tiene dos filas (o dos columnas) iguales, es igual a cero.
5. Si en un determinante, se a˜ade a una fila (columna) una combinaci´n lineal de las
n
o
otras filas (columnas) el valor del determinante no var´
ıa.6. Si un determinante tiene una fila (columna) cuyos efectos son todos iguales a cero,
es cero.
7. Si A es una matriz triangular, entonces su determinante es igual al producto de los
elementos diagonales.
8. El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual
al producto de los determinantes:
|A · B | = |A| · |B |
4
4.
Desarrollo de un determinante porlos elementos
de una fila (columna)
Definici´n 1 Se llama menor complementario del elemento aij , al determinante que reo
sulta de suprimir la fila i-´sima y la columna j-´sima. Lo designaremos por Mij .
e
e
a11
...
a 1j − 1
∗
a1j +1
...
a 1n
...
...
...
...
...
...
...
ai−11 ... ai−1j −1
Mij =
∗
...
∗
∗ ai−1j +1 ... ai−1n
∗
ai+11...
Algunas Notas sobre Matrices y Determinantes
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Algebra Lineal
Curso 2004-2005
Prof. Manu Vega
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Indice
1. Determinantes
3
2. Regla de Sarrus
3
3. Propiedades de los determinantes
3
4. Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila (columna)
5
5. Rango de una matriz
5
5.1. Teorema del rango . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
5.1.1. Caracterizaci´n del rango mediante determinantes . . . . . . . . . .
o
6
5.1.2. Transformaciones que conservan el rango de una matriz . . . . . . .
6
6. Matrices invertibles
6
6.1. Definiciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6.2. Definici´n de matriz inversa . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
o
6
1
6.3. Propiedades de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7. Matrices Ortogonales
8
8. Matrices equivalentes
8
8.1. Propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Matrices semejantes
8
8
9.1. Propiedades de las matrices semejantes . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
10.Matrices congruentes
9
9
10.1. Propiedades de las matrices congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
9
1.
Determinantes
Empezaremos estudiando una regla pr´ctica para el c´lculo de determinantes de orden
a
a
3 × 3 y pasaremos a la resoluci´n de determinantes de ´rdenes superiores. Posteriormente,
o
o
estudiaremos el rango y la inversi´n dematrices, transformaciones elementales para el
o
c´lculo del rango y de la matriz inversa, y, por ltimo, el concepto de matrices equivalentes.
a
2.
Regla de Sarrus
Un determinante es el valor num´rico de una matriz cuadrada. Para calcular el valor
e
de un determinante de orden 3 × 3. La forma nemot´cnica de esta regla es la siguiente:
e
productos positivos (diagonales hacia la derecha)- productos negativos (diagonales hacia
la izquierda)
a11 a12 a13
a21 a22 a23
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 −
a31 a32 a33
− a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .
3.
Propiedades de los determinantes
1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales
|A| = At .
2. Si todos los elementos de una fila (columna) contienen un factor com´n,´ste puede
ue
3
sacarse fuera del determinante
a11
a12
...
a 1n
a11 a12 ... a1n
a21
a22
...
a 2n
a21 a22 ... a2n
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ai1
ai2 ... ain
=λ·
λai1 λai2 ... λain
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
...
an1
an2
...
ann
.
an1 an2 ... ann
3. Si se intercambian dos filas o dos columnas de un determinante, ´ste cambia de
e
signo.
4. Si un determinante tiene dos filas (o dos columnas) iguales, es igual a cero.
5. Si en un determinante, se a˜ade a una fila (columna) una combinaci´n lineal de las
n
o
otras filas (columnas) el valor del determinante no var´
ıa.6. Si un determinante tiene una fila (columna) cuyos efectos son todos iguales a cero,
es cero.
7. Si A es una matriz triangular, entonces su determinante es igual al producto de los
elementos diagonales.
8. El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual
al producto de los determinantes:
|A · B | = |A| · |B |
4
4.
Desarrollo de un determinante porlos elementos
de una fila (columna)
Definici´n 1 Se llama menor complementario del elemento aij , al determinante que reo
sulta de suprimir la fila i-´sima y la columna j-´sima. Lo designaremos por Mij .
e
e
a11
...
a 1j − 1
∗
a1j +1
...
a 1n
...
...
...
...
...
...
...
ai−11 ... ai−1j −1
Mij =
∗
...
∗
∗ ai−1j +1 ... ai−1n
∗
ai+11...
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