Determinantes

TEMA 3 – DETERMINANTES – Matemáticas II – 2º Bachillerato

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TEMA 3 – DETERMINANTES
3.1 – DETERMINANTES DE ORDEN 2
3.1.1 – DEFINICIÓN: El determinante de una matriz cuadrada de orden dos es un número que se
obtiene del siguiente modo:
a
A =  11
 a 21
Ejemplo:

a 12 
a
a 12
 ⇒ det(A) = |A| = 11
= a11.a22 – a12.a21
a 22 
a 21 a 22
2 −1
3

4

= 2.4 − (−1).3 = 8 + 3 = 11

3.2 – DETERMINANTESDE ORDEN 3
3.2.1 – DEFINICIÓN: El determinante de una matriz cuadrada de orden tres es un número que se
obtiene del siguiente modo: (Regla de Sarrus)
 a 11

A =  a 21
a
 31

a 12
a 22
a 32

a 13 
a 11 a 12 a 13

a 23  ⇒ Det A = |A| = a 21 a 22 a 23
a 33 
a 31 a 32 a 33
= [a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 ] – [a13.a22.a31 + a12.a21.a33 + a23.a32.a11 ]

1 2 −3
Ejemplo: 2 4 − 1 =[1.4.3 + 2.(−1).2 + 2.0.(−3)] − [−3.4.2 + 2.2.3 + (−1).0.1] =
2 0 3
= [12-4+0]-[-24+12+0] = 8+12 = 20

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3.3 – PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: |A| = |At|

7 4
| A |=
= 77 + 20 = 97 
− 5 11

t
 ⇒| A |=| A |
7 −5
| A t |=
= 77 + 20 = 97

4 11

2. Si un determinantetiene una línea (fila o columna) de ceros, entonces su determinante es cero.
0 0
= 0.6 − 0.7 = 0
7 6
3. Si permutamos dos filas (o dos columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo.

3 1 7

| A |= 2 4 8 = [3.4.9 + 2.6.7 + 5.1.8] − [5.4.7 + 3.6.8 + 2.1.9]

5 6 9
⇒
7 1 3

| B |= 8 4 2 = [7.4.5 + 8.6.3 + 9.1.2] − [9.4.3 + 7.6.2 + 8.1.5]

9 6 5

Los sumandos son el mismo pero conel signo cambiado ⇒ |B|=-|A|
4. Si una matriz tiene dos filas (o dos columnas) iguales, su determinante es cero.
4 11
= 4.11 − 11.4 = 0
4 11
5. Si multiplicamos cada elemento de una fila (o de una columna) de una matriz por un número, el
determinante de esa matriz queda multiplicado por ese número.
5.4 5.9
4 9
= 5.
3 11
3 11
n
Por tanto |α.A| = α .|A| siendo “n” el orden de la matriz A. (Un α decada fila)
6. Si una matriz tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es cero.
60 6
= 60.7 − 6.70 = 0
70 7
7. Si una fila (o columna) de una matriz es suma de dos, su determinante puede descomponerse en
suma de los determinantes de dos matrices, del siguiente modo:
a + a´ b a b a´ b
=
+
c + c´ d c d c´ d
Por tanto |A + B| ≠ |A| + |B|

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8. Si a una fila (o una columna) de una matriz se le suma una combinación lineal de líneas
paralelas, el determinante no varía.
a b + ka a b a ka a b
a b
=
+
=
+0=
c d + ka c d c ka c d
c d
9. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su
determinante es cero (y recíprocamente)
1 2 3
(F3 = 2F2 - F1) ⇒ 2 3 4 = [15 + 24 +24] –[27+16+20] = 63 – 63 = 0
3 4 5

10. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes:
|A.B| = |A|.|B|
2 5 
 1 7
 y B = 

Por ejemplo: A = 
 7 20 
 − 2 4
 − 8 34 
 ⇒ |A.B| = -1032 + 1122 = 90
A.B = 
 − 33 129 
|A| = 40 – 35 = 5; |B| = 4 + 14 = 18 ⇒ |A|.|B| = 5.18 = 90
11. El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementosde la diagonal
principal
2 3
= 2.4 − 0.3 = 2.4
0 4
Nota:
[1] | I | = 1
[2] A.A-1 = I ⇒ |A.A-1| = |I| ⇒ |A|.|A-1| = 1 ⇒ |A-1| = 1/|A|

RESUMEN PRÁCTICO:
Operaciones con determinantes:
|0|=0
|I|=1
| Matriz triangular | = Producto de los elementos de la diagonal principal
|At| = |A|
|A-1| = 1/|A|
|A + B| ≠ |A| + |B|
|α.A| = αn.|A|
(siendo “n” el orden de la matriz)
|A.B| = |A.B|

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Un determinante es nulo si:
- Una línea (fila o columna) es nula.
- Dos líneas paralelas iguales
- Dos líneas paralelas proporcionales
- Una línea es combinación lineal de las líneas paralelas a ella.
Otras:
- Si intercambiamos dos líneas paralelas el determinante cambia de signo
F2 = F2 + 3F1 ⇒ =

- 
1
F2 = 3F2 + 4F1 ⇒ =
3

a + a´ b a b a´ b
=
+...