Determinantes

TALLER

ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL

TEMA: Determinantes

Objetivos de Aprendizaje: Consultar y resolver ejercicios de determinantes con sus propiedades y teoremas.

Actividades a realizar

1. Consultar los determinantes de orden nxn, sus teoremas, y las propiedades de los determinantes.
2. Consultar la matriz adjunta.
3. Resolver los siguientes ejercicios:

i) Halle lamatriz de cofactores de las siguientes matrices:

a)
b) A=234431124
c) B=12-1-1122-11

ii) Dada la matriz A=123232122 compruebe que:
a) A=1
b) A∙CofactA= I3


iii) Calcular el determinante de las siguientes matrices (con cofactores):

a)
b) A=1 230-12534 001 3021

c) C=ab0cd00000a00c-bd
iv)
v) Dada la matriz A=123111100
a) Calcule eldet (A)
Compare el det (A) con el determinante de la matriz B que resulta de:
b) Multiplicar la fila dos de A por k.
c) Intercambiar dos filas o columnas de la matriz A.
d) Multiplicar la fila uno de A por (-4) y sumársela a la fila dos.

vi) Suponga que det A=5 si A=abcdefghi. Encuentre:
a) det (3A)
b) det (2A-1)
c) det (2A)-1

vii) Sean A=210340002 yB=1-13712501. Hallar:

a) det (A) y det (B)
b) det (3A)
c) ¿det A+B=det A+det B?
d) ¿ det AT=det A?
e) det AB=det (A)∙det (B)
f) det BA=det (A)∙det (B)
g) det A-1=1det (A)

Fecha de entrega: Lunes, 6 de septiembre de 2010

Elaborado por: Liliana María Trujillo M.

SOLUCIÓN

1. DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS
Los determinantes de orden uno y dos se definencomo sigue:
 
= a11  
 
 

Así, el determinante de una matriz 1X1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11.

Ejemplos:  
a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det (-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5.
 
b)
 
 



DETERMINANTES DE ORDEN 3X3
Consideremos una matriz3X3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue:  
 
a12a21a33 - a32a23a11

 Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).  
Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puedeayudar a resolverlos:  


 

 

Ejemplo:  
Calcular el valor del determinante:
 

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63
 
El determinante de la matriz 3X3 A = (ai j ) puede reescribirse como:
 
det (A) = a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 – a22a31) =
 

 
Que es una combinación lineal de tres determinantes deorden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:  
 
 
Nótese que cada matriz 2  2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.
 
Ejemplo:  
Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con:   

 
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63
 Definición: Se le llama  de la matriz A de n x n a la matriz  de  que se obtiene al eliminar el renglón I y la columna j .
 

Ejemplo:
Dada la matriz , entonces:
 
    
 
Definición: Se le denomina  de la matriz A de n x n y se le denota por  a:                            
 
Definición de determinante de n x n: Sea una matriz A de n x n, entonces el determinante de A, está dado por:

 
Ejemplo 1:
Dado el determinante
 
a)     Calcula el det (A) desarrollándolo por cofactores a lo largo de la tercera columna.
b)     Calcula el det (A) desarrollándolo por cofactores a lo largo del tercer renglón.
Solución:
a)
 
b)
 
Ejemplo 2:
Encuentra el...