Determinantes



C A P I T U L O III











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D E T E R MI N A N T E S
En los dos temas anteriores, se hablo de cómo se representan y resuelven en forma muy sencilla los sistemas de ecuaciones lineales, pero existe una herramienta que permite y facilita:

El proceso de encontrar la solución de un sistema de ecuaciones,
Identificar si un sistema de ecuaciones lineales es consistente oinconsistente,
Identificar si una matriz es invertible,
El calculo de la inversa de una matriz de forma alternativa a la desarrollada en los temas anteriores.
etc.

Dicha herramienta son los “Determinantes” de matrices. El cual tiene como principal objetivo:

Simplificar cálculos numéricos, asociados a los sistemas de ecuaciones lineales.


DEFINICIÓN:

Un determinante, es una función que asocia acada matriz cuadrada A, un valor (número real) que se obtiene a partir de las entradas de la matriz A. Esto es:








La representación simbólica de la función determinante; puede ser denota por:






DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

La forma o procedimiento de calcular el determinante de una matriz cuadrada, dependerá del tamaño o el orden de cada matriz. Por ejemplo algunos determinantes quese pueden presentar son:

El determinante de una matriz de ; es su único registro.
El determinante de una matriz de segundo orden o simplemente de se puede definir como:


Esto es; para una matriz de orden la formula que aparece en i; se realiza multiplicando los elementos que están en la flecha punteada hacia la derecha y restándole el producto de los elementos que están en la flecha queapunta hacia la izquierda.

El determinante de una matriz de orden se puede definir como:

Es decir; para una matriz de orden , la formula que aparece en ; una forma de obtenerlo; es repetir las dos primeras columnas como se muestra a continuación.


Entonces, el determinante se calcula sumando todos los productos de los elementos que están en las flechas que apuntan hacia la derecha y restándoletodos los productos de los elementos que están en las flechas que apuntan hacia la izquierda.

Y para el determinante de una matriz mayor de ; el proceso de obtenerlo ya no es tan fácilmente visualizarlo, por lo que se explicara posteriormente.


EJEMPLOS:
1. Calcular los determinantes de las siguientes matrices;

SOLUCIÓN:
Para la matriz A de orden ; se tiene que su determinante es;


Es decir;Para la matriz B de orden se tiene que su determinante es;






2. Encuentre todos los valores de para los cuales .

SOLUCIÓN:

Por lo tanto; para que la matriz A, tenga un determinando igual a cero los valores de landa deben de ser 3 y 2.



COMPROBACIÓN:
Para ;

Para ;


3. Para que valores de de la siguiente matriz, el determinante es

SOLUCIÓN:


Resolviendo el polinomio de tercer grado;utilizando la Regla de Ruffini, se tiene que:




Por lo que la forma de poder factorizar el polinomio de tercer grado obtenido en el determinante de A es:
:
Por lo que los valores que puede tomar , para que el determinante sea diferente de cero, serán todos los reales excepto el 2 y el 6; Es decir y

COMPROBACIÓN:
Si se escoge un número para landa diferente de 2 y 6, entonces el Determinante dela siguiente matriz, deberá ser .

Dando por ejemplo a landa el valor de 5, se tiene que:





Ahora si se le da el valor de , entonces el determinante de la matriz A, deberá ser cero. Es decir:



Ahora si se le da el valor de , entonces el determinante de la matriz A, deberá ser cero. Es decir:




CALCULO DE DETRMINANTES MEDIANTE LA REDUCCIÓN A LA FORMA ESCALONADA

Existe otra forma de podercalcular el determinante de una matriz cuadrada de orden ; el cual consiste básicamente en utilizar el método de escalonamiento de una matriz o método denominado Gauss. Este método es de suma importancia, porque evita los cálculos tan extensos que se requieren al aplicar directamente la definición para obtener un determinante.

Antes de explicar el procedimiento, es importante hacer mención de los...