Determinantes

Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
U.E Colegio María Inmaculada
Materia: Matemática
Prof. María Villamizar
Determinantes







Integrantes:
Alejandra Amundaray #22Bárbara Hermoso #33


Los Dos Caminos, marzo de 2015
Introducción
El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones. En este curso estudiaremos, sobretodo, los determinantes de orden dos y los de orden tres. Los de orden superior se reducirán a éstos.
























El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremospor det(A) o también “|A| (las barras no significan nada).
Determinante de orden uno:

Determinante de orden dos:
Dada , se define como el determinante de A como:

Determinante de orden tres:
Dada

Tipos de determinantes

Matrices de orden inferior:
El caso de matrices de orden inferior (orden 1, 2 ó 3) es tan sencillo que su determinante secalcula con sencillas reglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema de Laplace.
Una matriz de orden uno, es un caso trivial, pero lo trataremos para completar todos los casos. Una matriz de orden uno puede ser tratada como un escalar, pero aquí la consideraremos una matriz cuadrada de orden uno:

El valor del determinante es igual al único término de la matriz:

El determinante deuna matriz de orden 2:

Se calculan con la siguiente fórmula:

Dada una matriz de orden 3:

El determinante de una matriz de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:




Determinantes de orden superior:
El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o columna, reduciendo el problema al cálculo de un determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columnacualquiera, multiplicando cada elemento por su cofactor (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1) i+j donde i es el número de fila y j el número de columna). La suma de todos los productos es igual al determinante.
En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden 3 quepodrán ser calculados por la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar los elementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por el mismo método, para obtener determinantes de orden 3. Por ejemplo, para obtener con el método especificado un determinante de orden 4, se deben calcular4 determinantes de orden 3. En cambio, si previamente se logran tres ceros en una fila o columna, bastara con calcular solo un determinante de orden 3 (ya que los demás determinantes estarán multiplicados por 0, lo que los anula). Para calcular el determinante de una matriz de 4x4 también se puede utilizar directamente la regla de Villalobos, que es una extensión de la regla de Sarrus.
La cantidadde operaciones aumenta muy rápidamente. En el peor de los casos (sin obtener ceros en filas y columnas), para un determinante de orden 4 se deberán desarrollar 4 determinantes de orden 3. En un determinante de orden 5, se obtienen 5 determinantes de orden 4 a desarrollar, dándonos 20 determinantes de orden 3. El número de determinantes de orden 3 que se obtienen en el desarrollo de un...