Determinantes

Determinantes
En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas lineales deecuaciones.
Historia de los determinantes
Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu. iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del arte matemático. ) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, seconoce con el nombre de Eliminación de Gauss-Jordan.
Primeros cálculos de determinantes
En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmulalleva el nombre de regula de modo.

Determinantes de cualquier dimensión
En 1748, en un tratado póstumo de álgebra de MacLaurin aparece la regla para obtener la solución de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas cuando n es 2, 3 o 4 mediante el uso de determinantes.[3] [4] En 1750, Cramer da la regla para el caso general, aunque no ofrece demostración alguna. Los métodos de cálculode los determinantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la noción de signatura de una permutación.[5]
Los matemáticos se familiarizan con este nuevo objeto a través de los artículos de Bézout en 1764, de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el calculo del determinante de la actual Matriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia quellevan su nombre. En el año siguiente, Lagrange descubre la relación entre el cálculo de los determinantes y el de los volúmenes.[4]
Gauss utiliza por primera vez el término « déterminante », en las Disquisitiones arithmeticae en 1801. Lo empleaba para lo que hoy día denominamos discriminante de una cuádrica y que es un caso particular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener elteorema del determinante de un producto.

Aparición de la noción moderna de determinante
Cauchy fue el primero en emplear el término determinante con su significado moderno. Se encargó de realizar una síntesis de los conocimientos anteriores y publicó en 1812 la fórmula y demostración del determinante de un producto junto con el enunciado y demostración de la regla de Laplace.[6] Ese mismo añoBinet ofreció otra demostración (incorrecta) para la fórmula del determinante de un producto.[6] [4] Paralelamente Cauchy establece las bases del estudio de la reducción de endomorfismos.
En 1825 Heinrich F. Scherk publicó nuevas propiedades de los determinantes.[6] Entre las propiedades halladas estaba la propiedad de que en una matriz en la que una fila es combinación lineal de varias de lasdemás filas de la matriz el determinante es cero.
El cuadro matricial es introducido por los trabajos de Cayley y James Joseph Sylvester[cita requerida]. Cayley es también el inventor de la notación de los determinantes mediante barras verticales (1841[6] ) y establece la fórmula para el cálculo de la inversa de una matriz mediante determinantes(1858[4] ).
La teoría se ve reforzada por el estudiode determinantes que tienen propiedades de simetría particulares y por la introducción del determinante en nuevos campos de las matemáticas, como el wronskiano en el caso de las ecuaciones diferenciales lineales.

Métodos de cálculo
Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios...