determinantes

Determinantes
A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).
|A| = 
Determinante de orden uno
Una matriz 1×1 es simplementeun número. Su determinante es él mismo.
|a11| = a11
Ejemplo:
|5| = 5

Determinante de orden dos
Se llama determinante de A al número real, es decir, el determinante de una matriz cuadrada deorden 2 es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
=a 11 a 22 − a 12 a 21
Ejemplo:Determinante de orden tres
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:
 =
= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 −
− a13 a22 a31 − a12 a21 a 33 −a11 a23 a32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo(cambian su signo).
Ejemplo:
 =
3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −
− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =
= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =
= 44 + 4 + 15 = 63
Regla de Cramer
Dado unsistema A·x = b, donde A = (ai,j ) es la matriz de coeficientes, b = (bj ) el vector de términos independientes y x = (xj ) la columna incógnitas. Entonces, si A es regular, la solución del sistema esDonde Aj es la matriz igual a A excepto por la columna j, que es el vector b.
Ejemplos:
1.


El determinante es:


Por tanto, la matriz es regular y elsistema tiene una única solución. Aplicamos la regla de Cramer para obtener la solución:






2.

El determinante de la matriz es:



Por tanto, la matriz es regular y el sistema tiene una únicasolución. Puesto que el sistema es homogéneo (el vector de términos independientes es 0), una solución es x=y=z=0 y, por lo anterior, es la única.
Si aplicamos Cramer, en cada determinante tenemos una...